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课件网) 说概念 正弦定理 5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 67-75页 一 概念地位 二 概念呈现 三 概念分析 四 概念引申拓展 五 概念发展历史 六 概念教学建议 正弦定理 概念地位 概念呈现 概念分析 概念引申拓展 概念发展历史 概念教学建议 概念地位 01 正弦定理是解斜三角形的重要工具 解 斜三角形 正弦定理 余弦定理 02 正弦定理是解直角三角形的延伸 直角三角形 2 3 边角关系 边角关系 1 4 斜三角形 初中 学习锐角三角比，解直角三角形 高中 学习任意角三角比，解斜三角形 具体如下： 概念呈现 正弦定理 在一个三角形中，各边与它所对角的正弦值的比值相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度． 在△ABC 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有 概念分析 01 正弦定理的变形 ? ? 02 正弦定理可以由三角形面积公式推出 ? ? 03 正弦定理的适用范围 ? ? 运用正弦定理可以把以比例形式表达的边角关系全部转化为边的关系或角的三角比的关系．本性质的使用需关注到表达式的各项是否是齐次的． 04 正弦定理可以解两类解三角形的问题 ? ? 一、已知三角形的两角与一边，解三角形； 二、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形． 正弦定理表达的是边与其所对角的正弦值之间比的定值关系，因而可用于解决两类解三角形问题： 概念引申拓展 01 三角形的基本性质是正弦定理应用的基石 ———三角形内角和为180度”，“大边对大角”，“大角对大边”是任意三角形都满足的条件，因而需要作为隐含条件去考虑． 02 由正弦定理引发的三角形中的等价关系 三角形中有性质：大边对大角，大角对大边，将此性质结合正弦定理得到以下等价关系． 即三角形中大角的正弦值较大，正弦值大的角是大角． 本性质与“sinA >0时，角A为锐角、直角或钝角”的认识有冲突，需要特别引起学生注意． 概念发展历史 一般认为，最先提出并证明正弦定理的是阿拉伯学者阿布．瓦法（Abul-Wefa，940-998），他首先提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁·图西（Nasiral-Dinal-Tusi,1201-1274）给出的． 同径法 外接圆法最早为16世纪法国数学家韦达（F．Viète，1540-1603）所采用． 外接圆法 同径法最早为纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436-1476）所采用． ———同径法”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线（16世纪以前，三角函数被视为线段而非比值），利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比．纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆．雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆． A B D F C E A D C E B 韦达的“外接圆法”如图，从外心O 向AB、BC 和CA 引垂线，垂足分别为D、E 和F，则∠A＝∠BOD，∠B＝∠AOE，∠C＝∠AOF，于是a＝2BD＝2sin∠BOD ＝2sinA，b＝2AE＝2sin∠AOE＝2sinB，c＝2AF＝2sin∠AOF＝2sinC，故a : sinA＝b : sinB＝c : sinC． 20世纪初，“外接圆法”演化为“辅助直径法”：如图，在Rt△BCD和Rt△BAD中，直接利用边角关系，得a＝2RsinA，c＝2RsinC ，其中R 为△ABC的外接圆半径． A B D F C E A D C B O O 概念教学建议 01 教学问题诊断分析 教学难点 正弦定理中，角以正弦的形式表达，由于“sinA>0时，角A为锐角、直角或钝角”，因此会有一解，两解或无解的情况出现． 条件中只有三边长没有角时，不能使用正弦定理． 02 教学建议 可以依据三角形全等的几个判断定理来判断解的情况． “三角形内角和为180度”“大边对大角” ... ...
