中小学教育资源及组卷应用平台 第07讲-幂函数与二次函数 考情分析 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 INCLUDEPICTURE"F6.TIF" (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) INCLUDEPICTURE"5S48.TIF" INCLUDEPICTURE"5S49.TIF" 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数；在上是增函数 在上是增函数；在上是减函数 [微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 经典例题 考点一 幂函数的图象和性质 【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】设，依题意可得， 所以.所以. 故所求实数. 【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，该函数的定义域为，所以排除C； 因为函数为偶函数，所以排除D； 又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B. 规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式 【例2-1】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 【解析】 法一 (利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以y＝f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三 (利用“零点式”解题) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【例2-2】（2020·四川省泸县第一中学高一期中）已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1. （1）求、的值及的解析式； （2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【解析】对称轴方程为, 因为在区间上的最大值为5，, 故时,取得最小值为1,即顶点为， 或，取得最大值5. ,解得, . （2）, , 即在上有解, 令 时，不等式在上有解. 实数的取值范围. 规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： INCLUDEPICTURE"4S247.TIF" 考点 ... ...
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