(
课件网) 导数复习(1) 高二年级 数学 称为函数 在 处的导数, 记作 ,即 一般地, 函数 在 处的瞬时变化率 导数的概念 称函数 导数的概念 为 的导函数, 简称导数. 函数 在 处的 的几何意义是曲线 上的点 处的切线的斜率. 相应的切线方程为: 曲线 在 处有切线, 未必存在. 导数的几何意义 基本初等函数的导数公式表 为正整数 为有理数 基本初等函数的导数公式表 基本初等函数的导数公式表 若 是可导函数, 则 导数的四则运算法则 设函数 在 内可导, 函数的单调性研究 （1）如果在 内, , 则 在此区间上是增函数; 若函数 在此区间上是增函数, 则 ; （2）如果在 内, , 则 在此区间上是减函数; 若函数 在此区间上是减函数, 则 . 已知函数 及其定义域内一点 , 对于存在一个包含的开区间内的所有点 , 都有 函数的极值与最值 则称函数 在点 处取得极大值, 记作 , 并称 为 的一个极大值点； 如果都有 函数的极值与最值 则称函数 在点 处取得极小值, 记作 , 并称 为 的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为 极值点. 函数的最大（小）值是指函数在指定区间内的最大（小）的值. 函数的极值与最值 函数的极值是局部性质. 函数的最值是整体性质. 的符号由正到负, 则 是极大值; 的符号不改变, 不是极值点. 的符号由负到正, 则 是极小值; 对于可导函数 , 是其定义域内一点, 函数的极值与最值 若函数 在 处取得极值, 则 ; 考察 左右两侧导函数 的符号： 定义在闭区间 上的连续函数 , 其最大值和最小值一定存在，我们可以通过比较它的极值，端点函数值以及导数不存在点的函数值得到. 函数的极值与最值 例 若函数 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ） D 解：由函数 的图象可知， 在 上单调递增, 在 上单调递减, , 选项D满足题意. 例 函数 的导函数 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ） 由函数 的图象可知， 有三 个零点, 从左到右记为 , 且 . 函数 在 处分别取得极小值、 极大值与极小值. 例 函数 的导函数 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ） D 例 求下列函数的单调区间, 若存在极值, 求出极值. (1). (2). (3). (4). 定义 常见函数的单调性 复合函数的单调性 利用导数研究函数的单调性 令： , (1). 解：首先考察函数的定义域： , 例 求下列函数的单调区间, 若存在极值, 求出极值. 极小值 极大值 所以函数 的单调增区间是 , 单调减区间是 和 回忆：利用公式 ，将函数变形为 的形式，利用正弦曲线的性质来处理. (2). 解： , 当 时, 函数单调增; 当 时, 函数单调减. 所以函数 的单调增区间是： 单调减区间是： 思考：(1）中我们考察了导函数 的符号，从而判断出函数 的单调性，对于三角函数我们是否也可以这样做呢？ (2). 解： , 当 时, ; 当 时, . 即当 时, , 函数单调增; 当 时, , 函数单调减. 所以函数 的单调增区间是： 单调减区间是： (3). 分析：首先考察函数的定义域： , 是幂函数和正弦函数的和, 既不能单纯的用幂函数的单调性来判定, 也不能单纯的用正弦函数的单调性来判定, 由（1）与（2）我们确信函数的单调性都可以归结于判断导函数的符号. 解： , 由于 , 所以 , 函数在 上单调增, 函数 无极值. (4). 解：首先考察函数的定义域： , 令： , 是单调递减函数, 是其唯一零点. 极大值 所以函数 的单调增区间是 , 单调减区间是 利用导数研究函数的单调性 确定函数的定义域 求出函数的导数 判定导函数的符号 确定函数单调性 解不等式 常见函数 函数值域 单调性 例 已知函数 , 试确定 的单调区间. 解：函数 的定义域是： . 令 , 当 时, 与 的符号相同. (1)当 时, 即 时, 函数的单调增区间是: , 单调减区间是: 和 . (2)当 时, , 函数的单调减区间是： ... ...
