双曲线及其标准方程(1) 一、设计思路：《双曲线及其标准方程》是解析几何教材中，继《椭圆及其标准方程》后的一节概念课。本节课的设计尝试对双曲线这一节的内容进行综合化处理，教学方法上坚持引导学生将双曲线与已经学过的椭圆反复进行类比，按照问题解决的想法进行重新设计，把适合学生探究的素材还给学生，帮助学生从双曲线的生成过程，有步骤、有层次地建构双曲线的意义，从中体会双曲线与自然及人类社会的密切联系，了解双曲线的价值，增强学生“数学来源于现实生活”的意识，激发其学习兴趣，落实三维一体的教学目标。 二、教学目标： 1.掌握双曲线的定义，能恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程。 2.模仿椭圆标准方程的建立，经历双曲线的标准方程的建构过程，发现椭圆与双曲线之间的“情侣关系”，掌握用待定系数法求双曲线标准方程的方法,体验用类比的方法探索新知的过程。 3 .感知双曲线来自于现实世界，让学生具有一定的数学视野，领悟双曲线的科学价值、美学价值。 三、教学重点：双曲线定义的形成及应用。 教学难点：怎样从椭圆的定义探究双曲线的定义； 双曲线的“双”的含义及应用，利用基本量a,b,c直接写出双曲线的标准方程。 四、教学过程： 板块一：双曲线的形成过程 教师：同学们，请先回忆我们昨天课后作业：P，Q为椭圆上两个动点，且，A（2，0），B（－2，0），求直线BP与QA交点的轨迹方程。大家想过这个方程的美丽曲线是什么吗？直线是刚，曲线是柔。曲线是流动、是变化、是生动。心中有数： [问题1]：已知曲线方程，已知曲线上P点的横坐标为x, , （1） 求x的范围； （2）不求P点的纵坐标，你能求出吗？它们之间有什么关系？ 与椭圆类比，设法构造x的不等式（组）;设法画出方程曲线的示意图；三角换元法，抓住这一机会，培养学生代数推理能力。 代入消元、配方，去掉绝对值符号的方法。 “目标导航”进行引导与探究。 方程的曲线是怎样形成的？心中有形 数学实验：拉链拉出的曲线———双曲线。双者成对也。我们观察到了什么？ 多媒体演示曲线的形状，函数一定是方程，反之不成立。方程的曲线由函数图象合成，猜想“双曲线和椭圆之间有着某种内在的联系”， 提问：我们可以归纳出什么？抽象概括出双曲线的定义。 板块二：双曲线标准方程的推导（要求先预习）求曲线方程的一般步骤是什么？与椭圆类比，你认为推导双曲线方程时，可以建立怎样的坐标系？ 我们能推导出什么？ 双曲线的定义:平面上动点到两定点 的距离之差的绝对值为常数2a ,且2a小于 的点的轨迹叫做双曲线.这两定点叫做双曲线的焦点,两个定点间的距离 叫焦距。 对称建系，理性美的揭示，教材中这样设的必要条件是什么？是否具备？目的何在？类比得出标准方程及简述双曲线与椭圆的区别：双曲看正负，椭圆看大小。 审美关系：情侣曲线 预案：前一天不布置家庭作业，将下列背景资料及问题提供给学生，要求学生预习，课堂上进行提问，检测预习效果。如有可能，也可以让学生来交流双曲线的实际应用。 板块三、双曲线（拉链拉出的曲线）在科学、生产、生活中的应用,如: (1)带罩的台灯很多照出的是双曲线亮区; (2)汽车路灯照出马路上两个双曲线的亮区; (3)双曲线新闻灯; (4)双曲线测定地震震源的方法； (5)双曲线导航法(3个导航台):在1300km范围内,误差只有1到1.85km； (6)发电厂、化工厂的自然通风塔;（ 单叶双曲面是直纹曲面.上面有两组母直线族,各组内母线彼此不相交,而与另一组母线永远相交.正是这种性质在技术中得到了应用.例如,用直立木杆造水塔,如果把这些杆垂直地放置,那就只能得到一个很不牢固的建筑物,他会因为非常小的负荷而损坏.如果立杆时,使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族),并使他们的交点处连接在一起,就会得到 ... ...
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