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课件网) 13.4.2 最短路径问题 最短路径问题 人教版-数学-八年级上册 1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题. 新知探究 知识点1 如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点. ? ? B l A C 2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题. 新知探究 知识点2 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点. ? ? A B l C B′ 学习目标 1、利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想. 课堂导入 思考：（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直） 新知探究 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ A B a b ? ? M N 知识点1 造桥选址问题 新知探究 分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小. 你能用几何语言将上述的问题重新表达吗？ A B a b ? ? M N 新知探究 如图： 直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小. A B a b ? ? M N 新知探究 分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小. A B a b ? ? M N A′ 新知探究 如图，连接A′，B两点的线段中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. A B a b ? ? M N A′ 新知探究 证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B. ∵在△A′N′B中，A′B
