广东省大埔县虎山中学2019-2020学年高二下学期数学竞赛 Word版含答案

2020年虎山中学高二数学竞赛2020-6-21 考试时间：80分钟 总分：120分 一、填空题（共8道小题，每小题8分，共64分）。 1．若，且，则z的最小值是_____. 2．已知函数，若方程有两个根，则实数m的取值范围为_____. 3．已知多项式，则_____. 4．定义新运算：，已知数列满足，且，则= . 5．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____． 6．设，且，则_____． 7．已知点为△ABC内一点，+2+3=，则=_____． 8．已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是_____. 二、解答题 9．（16分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C． （1）若，，求； （2）若，求△ABC的面积． 10．（20分）如图，四棱锥中，平面，，，，.是棱上的一点，. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为.多面体的体积为，求. 11．（20分）已知二次函数满足，，，. （1）求的解析式； （2）求证：时，； （3）求证：. 参考答案 一、填空题 1． 2．或 3． 4． 5． 6. 7．3 8． 二、解答题 9．（1）（2）或 解：（1）∵，C，， ∴可得， ∴ 即 （2）∵，可得 ∴由，得， 即，可得 ∴或 ①，得，结合得 ∴， △ABC的面积 ②若，则， 由余弦定理，得 即，解之得，从而 △ABC的面积 综上：△ABC的面积为或. 10．（1）证明见解析；（2）. 解：（1）四边形中，，，所以. 在中，，，所以，. 则在中，，，， 所以，解得：. 由，知，即. 因为底面，平面，所以. 因为，是平面上的两条相交直线，所以面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知：，，两两垂直，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，. 设，则，. 由（1）知，底面，故取平面的法向量为. 又，， 设平面的法向量为，则，即， 取，，得. 所以，由条件，知：， 整理得：①.四棱锥的体积， 又到面距离，所以的体积， 则多面体的体积为②， 由①，②得：，解得：或. 因为E是棱上的一点，所以.从而，. 11．（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析； 解：（1）由，得的对称轴为， 所以可设， 由 ，即. （2）设， ， 令，即， 则， 由， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，. ∴， ∴在上单调递增， ∴时，， ∴. （3）由（2）知即. 易知时，，， ， 所以，