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课件网) 第1章 解三角形 第1章 解三角形 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 预习案,自生学习 研读·思考·尝试 探究案·讲练叵动 解惑·探究·突破1．2 余弦定理(1) 1.掌握余弦定理及其证明方法． 2.会用余弦定理解决两类问题：“已知三边”“已知两边夹角”解三角形． 3．会用余弦定理判断三角形的形状． , [学生用书P6]) 1．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． 2．余弦定理的推论 cos A＝，cos B＝， cos C＝． 3．运用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题 (1)已知三边，求三角． (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 1．判断下列关于余弦定理的命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( ) (2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( ) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．( ) 解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形． (2)正确．当a2＞b2＋c2时， cos A＝＜0. 因为0＜A＜π，故A一定为钝角，则△ABC为钝角三角形． (3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定． 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为_____． 解析：设三角形的另一边长为c.由余弦定理得： c＝ ＝＝2. 答案：2 3．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，则△ABC的形状是_____． 解析：因为acos A＋bcos B＝ccos C， 所以a×＋b×＝c×， 整理得＝0， 即＝0， 所以b2＝a2＋c2或a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形 已知两边与一角解三角形[学生用书P6] (1)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝_____． (2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝_____． 【解析】 (1)由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)． (2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0， 解得BC＝4或5. 【答案】 (1)1 (2)4或5 已知两边与一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理或余弦定理求解． 1.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于_____． 解析：法一：在△ABC中，根据余弦定理， 即BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cos 60°， 得()2＝AB2＋22－2AB×2×cos 60°， 整理得AB2－2AB＋1＝0， 解得AB＝1. 法二：在△ABC中，根据正弦定理， 得＝，即＝， 解得sin B＝1， 因为B∈(0°，180°)， 所以B＝90°，所以AB＝＝1. 答案：1 已知三边(三边关系)解三角形[学生用书P6] 在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各角的度数． 【解】 由已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)， 令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)． 由余弦定理，得 cos A＝＝＝， 所以A＝45°. cos B＝ ＝ ＝， 所以B＝60°. 所以C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. (1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一． (2)若已知三角形的三边的关 ... ...
