第17讲-角与弧度制、三角函数的概念-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第17讲-角与弧度制、三角函数的概念 1、 考情分析 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性； 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2、 知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. INCLUDEPICTURE"4S391.TIF" INCLUDEPICTURE "4S391.TIF" \ MERGEFORMAT [微点提醒] 1.若α∈，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合 INCLUDEPICTURE"4S392.TIF" INCLUDEPICTURE "4S392.TIF" \ MERGEFORMAT 4.轴线角的集合 INCLUDEPICTURE"Z3.TIF" INCLUDEPICTURE "Z3.TIF" \ MERGEFORMAT 3、 经典例题 考点一　角的概念及其集合表示 【例1-1】 (1)若角α是第二象限角，则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为_____. 【解析】　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为. INCLUDEPICTURE"V6.TIF" INCLUDEPICTURE "V6.TIF" \ MERGEFORMAT 规律方法　1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断. 考点二　弧度制及其应用　 【例2-1】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积. 【解析】　由已知得α＝，R＝10， ∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2). 【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 【解析】　l＝α·R＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形 ＝·l·R－·R2·sin ＝··10－·102· ＝(cm2). 【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】　由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0