(
课件网) 24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 人教版数学九年级上册 3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2. 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 学习目标 【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? · 圆心角的概念 探究新知 圆是中心对称图形 . O A B 180° 【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. · · O B A · O B A 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上 O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒ 弦 练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角 顶点在圆外，不是圆心角 顶点在圆周上，不是圆心角 圆心角 ∠AOB＝∠A′OB′ · O A B A′ B′ 如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 得到： AB =A＇B＇ 圆心角、弧、弦之间的关系 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ C · O A B D 由圆的旋转不变性，可得： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， AB与CD ，弦AB=弦CD 在同圆中探究 ⌒ ⌒ · O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · O ′ C D 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得： 如果∠AOB=∠COD， 那么，AB=CD， 弦AB=弦CD. ⌒ ⌒ 在等圆中探究 在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 弧、弦与圆心角的关系定理 【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 在同圆或等圆中 题设 结论 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 关系结构图 解： ∵BC=CD=DE 例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE. ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E 考点探究1 利用弧、弦、圆心角的关系求角度 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ × × (1)等弦所对的弧相等. （ ） (2)等弧所对的弦相等. （ ） (3)圆心角相等，所对的弦相等. （ ） × 1. 判断正误。 巩固练习 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∵ ∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O ⌒ ⌒ ∵AB=CD， ⌒ ⌒ 考点探究2 利用弧、弦、圆心角的关系证明相等 探究新知 2. 填一填. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_____， _____． （2）如果 ，那么_____，_____． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____，_____． · C A B D E F O AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( 巩固练习 （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥C ... ...
