中小学教育资源及组卷应用平台 专题三：圆锥曲线中的长度（面积）问题 圆锥曲线中关于长度面积的计算在解答题中基本上就是读懂题意后，基本上就是一个字算。但是在选填题中长度（面积）相关问题除了会算，还远远不够，它经常会涉及到其他的中学阶段所学到平面几何的基本知识，所以我们要很好的完成这个版块的内容就需要足够的的知识储备． 基本知识储备:弦长公式（包含一般的弦长公式和焦点弦公式）；距离公式（包含点与点，点与线，线与线的距离公式）；面积公式（包含特殊的三角形和一般的三角形面积公式）；中点坐标公式；平面向量相关知识；直线方程的相关知识（斜率（倾斜角）、垂直、平行等）；圆、圆锥曲线相关知识；初中的平面几何相关知识（如：相似；平行线分线段成比例；勾股定理；平行四边形等）。 本专题目录： 第1讲、计算长度（面积）问题 第2讲、长度（面积）的倍分关系问题 第3讲、复杂的长度（面积）问题 第1讲、计算长度（面积）问题 例1、(2020年湖南长郡中学高三下月考)过抛物线的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点想轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D.4 解析 画出示意图，如图所示. 设，的横坐标分别为，，由，得， 由根与系数的关系，则， ，， 解得，故选A. 例1、 (2018全国Ⅰ卷11题)已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、．若为直角三角形，则= A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以． 不妨设过点的直线与直线交于点，由为直角三角形，不妨设， 则，又直线过点，所以直线的方程为， 由，得，所以， 所以，所以．故选B． 例3、（2016新课标3 16题）已知直线l:mx＋y＝3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝_____ 答案：4 解析:由已知条件得圆的圆心到直线的距离（OE）为， 则. 因为的斜率，所以直线与轴的夹角，因此. 点评：此题丢分率比较高，主要原因是没有认真读题，根据平时作图的感觉一下就画上去了。大部分丢分的同学是把“过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点”画成了“过A、B分别x轴的垂线，垂足为C、D两点”。 错误示例 正确示例 例4、（2017全国2卷12题）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题知，与抛物线联立得， 解得，所以. 解法一：因为，所以，因为，所以， 所以到的距离为.故选C. 解法二：如图所示，在中，由抛物线定义知，. 因为，所以.又轴，所以， 所以为等边三角形，且， 则点到直线的距离为..故选C. 例5、 (2018年四川成都三诊理11题）已知是椭圆：上关于坐标原点对称的两个点，是椭圆异于的点,且∥，∥，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：特殊值法，取为短轴的端点，即,，点为左顶点， 则直线，的方程分别为，，所以，， 所以.故选A. 方法二：若与坐标轴平行或垂直时，可得点为椭圆长轴和短轴的一个端点， 所以； 若与坐标轴不平行或不垂直时，则，设直线，的方程分别为，，则.联立解得， 同理可得， 所以 故选A. 考点：直线与椭圆的位置关系. 例6、（2020年吉林省三模理12题）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意,设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为 ,所以, 又以为直径的圆经过点,则|OP|=c , 即 , 解得 所以即 即 所以双曲线的离心率为e=2，故选: B. [点睛] 本题主要考查双曲线的离心率,解决本题的关键在于求出a与c的关系,属于常规题. 例7、（2020年 ... ...
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