中小学教育资源及组卷应用平台 第12章 函数及其表示 【知识衔接】 ———初中知识回顾——— 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。 一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。 2、反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、二次函数的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。 叫做二次函数的一般式。 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴[来源:学科网] （2）求抛物线与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 二次函数的解析式有三种形式：学=科网 （1）一般式： （2）顶点式： （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 ———高中知识链接——— (1)函数的定义域、值域? 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．? (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 函数的表示法? 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 【经典题型】 初中经典题型 1．在函数中，自变量x的取值范围 ． 【答案】x≥1且x≠2． 【解析】 试题解析：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．如图，正方形ABCD边长为4，点P从点A运动到点B，速度为1，点Q沿B﹣C﹣D运动，速度为2，点P、Q同时出发，则△BPQ的面积y与运动时间t（t≤4）的函数图象是（ ） A． B． C． D． [来源:学科网ZXXK] 【答案】B 综上可得全过程的函数图象，先是开口向下的抛物线，然后是直线； 故选B． 3．经过三点的抛物线解析式是 ． 【答案】y=﹣x2+ x+3． 【点晴】设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再把C（0，3）坐标代入二次函数y=a（x+2）（x﹣4）中，求出a的值即可． 4．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：学科=网 ①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2 其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】 试题解析：∵抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3）， ∴3=a（1﹣4）2﹣3， 解得：a=，故①正确； ∵E是抛物线的顶点， ∴AE ... ...
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