线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤ 关于副对角线： ⑥ 范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦ 型公式： ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系———称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分 矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆 3. 矩阵的秩的性质 4. 矩阵方程的求解 1. 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作 或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式 不成立. a. 分块对角阵相乘：, b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量； c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量. d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：， ⑤ 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作. a. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 . 是反对称矩阵 . b. 分块矩阵的转置矩阵： ⑥ 伴随矩阵： ，为中各个元素的代数余子式. ,, . 分块对角阵的伴随矩阵： ， 矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： （无条件恒成立） r(A)与r(A )的关系 若r（A）=n，则不等于0，A =可逆，推出r（A ）=n。 若r（A）=n-2，则 等于0且所以n-1阶子式全为0，因此A =0，即r（A ）=0 若r（A）=n-1，则等于0且存在n-1阶子式不为0，因此A 不等于0，r（A ）大于等于1 又因为 AA =E=0，r（A）+r（A ）小于等于n，r（A ）小于等于n-r（A）=1 就可以得到r（A ）=1 2. 逆矩阵的求法 方阵可逆 . ①伴随矩阵法 ： ② 初等变换法 ③ 分块矩阵的逆矩阵： ④ , ⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义） 3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时， 称为行最简形矩阵 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换 初等变换 初等矩阵 初等矩阵的逆 初等矩阵的行列式 () () () ?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘； 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘. 注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. ... ...