中小学教育资源及组卷应用平台 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、知识讲解 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积. 2．棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和. （2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为： ，，. 3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积 （1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形. 如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长). （2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形. 如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高). （3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形. 如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高). 二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱（底面半径为r，母线长为l） 圆锥（底面半径为r，母线长为l） 圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l） 侧面展开图 底面面积 S底=_____ S底=πr2 S上底=πr′2，S下底=πr2 侧面面积 S侧=2πrl S侧=_____ S侧=πl(r′+r) 表面积 S表=2πr(r+l) S表=πr(r+l) S表=_____ 三、柱体、椎体、台体的体积 1．柱体、椎体、台体的高 （1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的 即圆柱的高. （2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. （3）棱台（圆台）的高是指两个 之间的距离. 2．柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体= (S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= (r为底面半径，h为高) 台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高) 四、组合体的表面积与体积 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. 求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. K知识参考答案： 一、1．和 2．平行四边形 三角形 梯形 侧面 底面 3．ch ch′ (c+c′)h′ 二、πr2 πrl π(r′2+r2+r′l+rl) 三、1．母线 底面 2．Sh πr2h 二、例题详解 K—重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积. K—难点：组合体的表面积和体积. K—易错：由三视图还原几何体时出错，表面积计算不全致错，忽视题干条件致错等. 1．K重点———柱体的表面积和体积 （1）圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积公式求解即可. （2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面的面积之和来求，公式法即利用平行四边形面积公式进行求解. 【例1】已知矩形中，，把这个矩形分别 ... ...
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