中小学教育资源及组卷应用平台 球的体积和表面积 一、知识讲解 一、球的体积与表面积 1．球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的体积 . 2．球的表面积 设球的半径为R，它的表面积由半径R唯一确定,即它的表面积S是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积 . 二、球的截面 1．球的截面在解决球的相关计算问题中的作用 （1）当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； （2）当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. 2．球的截面的性质 （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面； （2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式: . 三、球的切、接问题（常见结论） （1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是． （2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是． （3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． K知识参考答案： 一、1． 2． 二、例题详解 K—重点：球的体积和表面积. K—难点：球的截面问题、球与几何体的切、接问题. K—易错：空间能力想象不足、考虑不全出错等. 1．K重点———球的体积与表面积 确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径. 【例1】若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】设球的半径为，则球的表面积为，球的体积为，膨胀后球的表面积为，球的半径为，膨胀后球的体积为，膨胀后球的体积变成了原来的倍，故选C. 【名师点睛】本题是基础题，考查的是球的体积的计算，考查了计算能力.求解时，设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到体积比. 2．K难点———球的截面问题 当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. 【例2】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【技巧点拨】（1）解题时，利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积. （2）对于球的截面问题，注意：①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：. 3．K难点———球与几何体的切、接问题 解决几何体的内切球问题：（1）找过切点和球心的截面；（2）体积法. 解决几何体的外接球问题：（1）由球心和几何体抽象得出新几何体；（2）找过球心的截面. 【例3】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系： (1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； (2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1； (3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； (4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； (5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 求解本题时，由三视图 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
