中小学教育资源及组卷应用平台 第23讲-数列的概念及简单表示法 考情分析 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 知识梳理 1.数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N+ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [微点提醒] 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 经典例题 考点一 由数列的前几项求数列的通项 【例1-1】 （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足， 由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C. 【例1-2】已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.an＝(－1)n－1＋1 B.an＝ C.an＝2sin D.an＝cos(n－1)π＋1 【解析】对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意. 【例1-3】已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是_____. 【解析】各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－， 故原数列可变为－，，－，，…， 故其通项公式可以为an＝(－1)n·. 规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理. 考点二 由an与Sn的关系求通项 【例2-1】（2020·全国高三（文））数列的前项和,则的通项公式 _____. 【解析】当时,； 当时,； ∴ 故答案为 【例2-2】（2020·北京高三二模）已知数列的前n项和，则（ ） A．3 B．6 C．7 D．8 【解析】由数列的前n项和， 当时，， 则. 故选：B. 规律方法 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 易错警示 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N+). 考点三 由数列的递推关系求通项 【例3-1】（2020·全国高三月考（理））已知数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为数列的前项和为，，， ... ...
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