中小学教育资源及组卷应用平台 突破1.1.2 余弦定理重难点突破 考纲要求 熟记并掌握余弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题； 能够利用余弦定理解三角形； 能利用正弦定理 余弦定理及三角变换解决较为复杂的三角形问题； 能利用三角函数的正弦定理和余弦定理，解决实际应用的相关问题。 二、经验分享 【正弦定理】?（R为外接圆的半径）. 【余弦定理】①;; ② ③在三角形△ABC中，若，则C为直角；若 ，则C为钝角；若，则C为锐角。 【三角形常用结论 】 （1） （2）在△ABC中，有. （3)面积公式： ①，②. 【三角恒等变换公式】 （其中是三角形的三个内角） 三、题型分析 (一) 利用余弦定理解三角形 例1. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=（ ） （A） （B） （C）2 （D）3 【答案】D 【解析】由余弦定理得,解得（舍去）,故选D. 例2.在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】根据余弦定定理，又，所以，又，所以. 【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以,即 选C. 【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得 ，故选A． 【变式训练2】．如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中， 由正弦定理得，解得． (二) 利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积 最值问题 例3.已知中，分别是角所对的边，已知，若，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由条件，得，即，从而可知，根据余弦定理推论得，解得，所以，因此.故选B. 例4.在中，分别是角所对的边，若，则的值为（ ） A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】根据余弦定理，得，又，所以，整理得，又，所以或.故选D. 【变式训练1】．若的三个内角满足，则是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解析】根所正弦定理可知，的最大内角为，不妨设，，，根据余弦定理得，而，所以，故为钝角三角形. 【变式训练2】（2013陕西）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【解析】∵，∴由正弦定理得， ∴，∴，∴，∴△ABC是直角三角形． 【变式训练3】（2016年全国II）的内角的对边分别为，若， ，，则 ． 【答案】 【解析】∵，， 所以，，所以， 由正弦定理得：解得． (三) 正余弦定理与三角变换的综合应用 例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 所以，选A. 例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在中，角所对的边，点为边上的中点，已知，，，则_____；_____． 【答案】 【解析】在中，=，同理可得-， 又=(+)，平方得=， 所以， 故答案为(1). (2). 【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，. （1）求角的大小； （2）若，求角的大小. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）在中，由余弦定理，得， ，，， ，， ，； （2）由正弦定理得，， ，， ，， ，. 【变式训练2】.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． ( ... ...
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