突破2.7 （重难点） 数列前n项和重难点考点与题型突破 学案（原卷版+解析版）-【2020高二暑假查漏补缺】突破数学满分计划之重难点突破+课时训练 （人教新课标A版必修5）

中小学教育资源及组卷应用平台 数列前n项和重难点考点与题型突破 一、考情分析 二、题型分析 (一) 已知等差与等比数列，求数列的前n项和 例1．（2018全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【解析】(1)设的公差为d，由题意得． 由得d=2．所以的通项公式为． (2)由(1)得． 所以当时，取得最小值，最小值为?16． 【变式训练1】．（2015四川）设数列的前项和，且成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和，求得成立的的最小值。 【解析】（1）由已知有， 即， 从而． 又因为成等差数列，即． 所以，解得． 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故． （2）由（1）得． 所以． 由，得，即． 因为， 所以． 于是，使成立的n的最小值为10． (二) 裂项相消求和 例2．（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则， 解得，， ∴，所以， 所以． 【变式训练1】．（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知， （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3， 当时，，即，因为，所以=2， 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以数列{}前n项和为 = =. 【变式训练2】．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令=求数列的前项和． 【解析】（Ⅰ） 解得 （Ⅱ）， 当为偶数时 ． (三) 分组求和 例3.已知数列的前n项和为，且满足，数列中，，对任意正整数，. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由； （3）求数列前n项和. 【思路引导】 （1）根据与的关系即可求出； （2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数； （3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出． 解：（1）因为，当时，； 当时，． 故； （2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，， 对任意正整数，.可得，且， 由假设可得，即， 则，可得，可得存在实数，使得数列是公比的等比数列； （3）由（2）可得，则， 则前n项和 当n为偶数时， 当n为奇数时， 则（）． 【变式训练1】．已知数列的前n项和为，. （1）求及数列的通项公式； （2）若，，求数列的前n项和. 【思路引导】 （1）利用临差法将递推关系转化成，同时验证，从而证明数列为等比数列，再利用通项公式求得； （2）利用对数运算法则得，再用等比数列求和及裂项相消法求和，可求得。 解：（1）因为，所以，因为， 所以，所以， 整理得， 又因为，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 （2）， ， . (四) 错位相减求和 例4．（2016年山东高考）已知数列 的前n项和，是等差数列，且 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令 求数列的前n项和Tn. 【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和， 所以，当时， ， 又对也成立，所以． 又因为是等差数列，设公差为，则． 当时，；当时，， 解得，所以数列的通项公式为． (Ⅱ)由， 于是， 两边同乘以２，得， 两式相减，得 ． 【变式训练1】． 在等比数列中，公比为，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【解析】（Ⅰ）因为公比为的等比数列中， ， 所以，当且仅当，，时成立. 此时公比，，所以. （Ⅱ）因为， 所以 ， ∴， ∴ .故数列的前项和. 三、迁移应用 1．已知数列满足，则的前10项和等于（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，∴是等比数列 又，∴，∴，故选C． 2．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为． (1) ... ...