中小学教育资源及组卷应用平台 外接球的应用学案 一．学习目标 外接球问题一直是高考的热点问题，在近几年的高考中频频出现，并且难度相对比较大，本节课的目标是通过对几何体外接球的球心的明确，分析得到外接球的相关问题的解决思路。 二．外接球球心的基本结论 在空间几何图形中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。 通过外接球的球心的基本概念，可以得到确定几种特殊的简单多面体外接球的球心的相关结论。 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的交点（体对角线的交点到长方体或正方体的八个顶点的距离相等）； 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点； 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点（只有直棱柱才有外接球，斜棱柱无外接球）； 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到 （是棱锥的高，是底面外接圆的半径）； 代入相应数据，可知正三棱锥外接球（是棱锥侧棱长，是底面边长） 结论5：若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心（考虑初中几何的概念点：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等）。 结论6：外接球的球心与多面体某个面的外心的连线垂直于这个面。这个结论是应用勾股定理的思路求解外接球的球心位置以及半径的长度的情况。 例1：在矩形中，，，沿着对角线将矩形折成直二面角，求四面体的外接球的半径。 例2：已知四面体，，且，，，，求四面体的外接球的半径。 例3：正四棱锥的底面边长与各棱长均为，点在同一个球面上，则此球的体积为 。 三．构造思路 通过“长方体（立方体）的体对角线与其外接球的直径相等”的基本结论，对于常见的可以构造成长方体（立方体）的形式，可以转化为长方体（立方体）。所以需要熟悉了解可以构造出长方体（立方体）的几种情形。 题型1：同一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体，求外接球问题，可以构造长方体 例4：已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 题型2：相对的棱长相等的三棱锥，求外接球问题，可以构造长方体 例5：一个四面体的所有棱长均为，四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为？ 题型3：棱锥中含有线面垂直关系，求外接球问题，可以构造直棱柱（长方体）。 例6：在三棱锥中，，，，，则此三棱锥的外接球的半径为 。 题型4：三棱锥的三个侧面两两垂直，求外接球问题，可以构造直棱柱（长方体）。 注：依照立体几何的基本结论，三个侧面两两垂直，便可以得到任意两个平面的交线（两两垂直）； 题型5：正四面体、四个面都是是直角三角形的三棱锥都可构造正方体（长方体）。 把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和 长方体的外接球重合，长方体的外接球的半径，就是几何体的外接球半径。 四．存在线面垂直或面面垂直的立体外接球半径的求解 当一个立体图形存在线面垂直或者面面垂直的条件时候，它的外接球的半径如何计算呢？本课题通过演示具体的半径推导过程得到具体的计算公式。 已知三棱锥，，外接球的球心为O。过作；；显然、分别是、的外心，且是矩形 整理可得，（其中，、分别表示两个垂直面三角形的外接圆半径，即推导式中的、；表示两垂直面的交线） 所以出现直棱柱或出现线面垂直或面面垂直的条件，均可以利用相应的公式思路进行求解；在利用公式的关键在于求解两个垂直面三角形的外接圆的半径（可以联系正弦定理工具予以解决），同时注意两个垂直平面交线的一半的平方，代入公式进行求解即可。 另外，需要注意的是，直棱柱的外接球与对应棱锥外接球 ... ...
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