第2课时 空间中直线、平面的垂直 知识点拨 空间中直线、平面垂直的向量表示 微练习 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( ) A.2 B.-5 C.4 D.-2 答案:B 解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 微判断 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( ) (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( ) (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( ) (4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( ) 答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量方法证明线线垂直 例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. 思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证: (1)BD1⊥AC; (2)BD1⊥EB1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用向量方法证明线面垂直 例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4, AD=2 ,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则B(4,0,0),P(0,0,4), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ... ...
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