中小学教育资源及组卷应用平台 —类动点路径长问题的解法研究 在近几年的中考中频频出现由动点产生的求路径长问题.这类问题的难点在于从动点(关联点)的运动路径不明确，而这正是解决问题的关键.本文通过一道典型题解法的探究，从中提炼模型，进而给出这类问题的通用解法. 问题 如图1,己知线段，、是上两点，且，是线段上一动点.在同侧分别作等边和等边，为线段的中点，当点由点移动到点时，点移动的路径长度为 一、探究解法 1.准确作图 本题主动点是，从动点是。作图要体现两个方面，一方面要体现点的临界位置(起点和终点)；另一方面要体现点的一般位置，如图2. ①点由点移动到点，点、即为P运动的临界点，此时点运动到、 ②在上任取一点，异于、，此时点运动到[来源:Zxxk.Com] 2.合理猜想 在同一张图中画出点的特殊位置、 ，一般位置，将不同的点位置连结起来，形成了对运动过程的直观化，容易猜想点的运动路径是一条线段.这一猜想是基于在同一张图中画出点的多个位置，每一个位置都要准确无误，这样使得下一步的猜想更合理、更有价值，因此对作图的要求很高. 3.严谨证明 证法1 如图3，过点分别作的垂线，垂足为。由梯形的中位线，得，由等边三角形，得 ，[来源:学,科,网Z,X,X,K] 而，所以 因为点到的距离为定值，所以点的运动路径为线段. 如图4， 证法2 如图5，延长交于点，可知四边形为平行四边形。因为为中点，所以为中点，所以的运动路径为的中位线，易得21世纪教育网版权所有 二、提炼模型 由上述第二种证法可知，点G的运动路径之所以为的中位线，关键在于始终是中点。由此可知只要//， //时，四边形为平行四边形，的运动路径就是某个定三角形的中位线. 建立模型1 如图6，己知线段，、是上两点，且，，是线段上一动点。分别以、为边在线段的同侧作、，满足，，为线段的中点，则点由点移动到点时，点移动的路径长度为 建立模型2 如图7，己知线段，、是上两点，且，，是线段上一动点，分别以、为边在线段的两侧作、，满足，，为线段的中点，则点由点移动到点时，点移动的路径长度为 分析如图8，作点运动的临界位置(与、重合)，// // ， //。由平行四边形性质，可得. 因为点是中点，可得，因此点移动的路径为线段. 过点作的平行线，交于点，则. 在中，，， 因此点移动的路径长度为 特别地，当时，点移动的路径长度为 三、变式训练 1.如图9，，点、在线段上，且，C是线段上的动点。分别以、为斜边在线段的同侧作直角和直角，使，连结。设中点为，当点从运动到点时，点的移动路径长是 简析 由题意可知// ， // ，对应模型1，点的移动路径长是2. 5. 2.如图10，已知线段，、是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别以和为直径作半圆，点、分别为以和为直径所作半圆的弧的中点，连结，点为线段的中点，则当点由点移动到点时，点移动的路径长度为 . [来源:学|科|网] 简析 如图11，连结，由为半圆弧的中点，可得//，//，对应图7所示模型，点移动路径的长是2. 3.如图12，四边形是边长为6的正方形，点、在边上，且，点是线段上的动点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，、分别为的中点，连结.设的中点为，则当点从运动到点时，点移动路径的长是 .21cnjy.com 简析 如图13，连结，可得// ， // .对应图7所示模型，点移动路径的长是=2. 4.如图14，点， 在线段上，且，是线段上的动点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点是这两个正方形的中心，连结.设的中点为，则当点从运动到点时，点移动路径的长是 .[ 简析 如图15，连结，可得// ，// .对应图7所示模型，点移动路径的长是3. 5.如图16，，，点是线段上的动点，分别以为边向上、向下作正方形和正方形，设正方形对角线的交点分别为,当点从运动到点时，线段中点的运 ... ...
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