北师大版（2019）数学必修第一册：第三章 指数运算与指数函数（课件+学案+教案）（12份打包）

指数幂的拓展 【教材分析】 初中学习了整数指数幂的运算，本节将整数指数扩充到有理数指数和实数指数，着重是有理数指数（分数指数）的运算，完成了指数幂运算的扩充，一方面使指数运算知识更加完整，揭示了开方（根式）运算与乘方（指数式）运算的内在联系，另一方面为学习指数的运算性质和指数函数的性质奠定了基础。 【教学目标】 （1）知识目标：掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。 （2）核心素养目标：通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数运算的发展过程，提高学生数学运算的核心素养。 【教学重难点】 （1）正分数指数幂的含义和运算； （2）有理数指数幂的运算； （3）根式与分数指数幂的相互转化。 【教学准备】 多媒体课件 【教学过程】 一、知识引入 在初中，学习了整数指数幂的运算及性质 ， ， 。 思考讨论： （1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为 。 其中为侵害面积的初始值 如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？ 提示：指数是分数。 （2）对于分数指数幂，该如何运算呢？如？。 提示：，又，可见。 二、新知识 1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。 记作，这就是正分数指数幂。 例如：，则；，则 注意： ①当是正整数时，分数指数幂满足： ②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。 例如：，； ③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数 虽然，但不能写成 例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）； （2）； （3）； （4） 2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义 。 至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了。 那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下 因为，所以 上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值 借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即 一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。 同理 这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。 注意： ①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0； ②0的任意正实数幂都等于0； ③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。 例2．计算： （1）； （2）； （3）。 解：（1）； （2）； （3） 思考讨论（综合练习） （1）计算下列各式： ①； ②。 （2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。 ① ② 提示：（1） ① ②。 （2）①。 ② 【教学反思】 （1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。 （2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。 4 / 4指数幂的拓展 【学习目标】 掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。 【学习重难点】 （1）正分数指数幂的含义和运算； （2）有理数指数幂的运算； （3）根式与分数指数幂的相互转化。 【学习过程】 一、知识引入 在初中，学习了整数指数幂的运算及性质 ， ， 。 思考讨论： （1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为： 。 其中为侵害面积的初始值 如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学 ... ...