21.4.3 二次函数应用中的其他问题（重点练)原卷+解析-2020-2021学年（九上）十分钟同步课堂练（沪科版）

中小学教育资源及组卷应用平台 中小学教育资源及组卷应用平台 ( 21.4第3课时二次函数应用中的其他问题（重点练) ) 1．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a， ∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①错误； ∵2≤c≤3， 而c＝﹣3a， ∴2≤﹣3a≤3， ∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x＝1时，二次函数值有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即a+b≥am2+bm，所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 2．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论． 详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1， ∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0）， ∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1． 将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4． 当x=-3时，y=（x+1）2-4=0， ∴得到的新抛物线过点（-3，0）． 故选：B． 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键． 3．某公司计划投资、两种产品，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）的函数关系式为． （1）求与之间的函数关系式； （2）若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元，求的值； （3）该公司筹集万元资金，同时投资、两种产品，设投资产品的资金为万元，所获得的总利润记作万元，若时，随的增大而减少，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）由图象可得函数抛物线的顶点坐标及经过的点，由待定系数法即可求解； （2）由（1）可得的最大值，由的函数解析式求出产品所获得利润的最大值，再依据题意列方程求解即可； （3）由得，依据题意由二次函数性质可得抛物线对称轴在30的左边，由此得关于n的不等式求解即可． 【详解】 解：（1）由图象可知点 ... ...