人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.7.2　抛物线的几何性质word含答案

2.7.2　抛物线的几何性质 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) 　　 　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.5 C.6 D.7 解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, ∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23, 则P(3,±23), ∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4, ∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A. 答案A 2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析∵直线y=kx-k=k(x-1), ∴直线过点(1,0), 又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部, ∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 答案C 3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为(　　) A.12 B.32 C.2 D.52 解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12, ∵AB垂直于x轴,|AB|=22, A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2, 代入抛物线y2=2x,求得x=1, 点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32. 答案B 4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有(　　) A.|PP1|=|AA1|+|BB1| B.|PP1|=12|AB| C.|PP1|>12|AB| D.|PP1|<12|AB| 解析如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|. 答案B 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为(　　) A.23 B.4 C.6 D.43 解析由题意知,△FPM为等边三角形, |PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥抛物线的准线. 设Pm24,m,则M(-1,m),等边三角形边长为1+m24,又由F(1,0),|PM|=|FM|, 得1+m24=(1+1)2+m2,得m=±23, ∴等边三角形的边长为4,其面积为43,故选D. 答案D 6.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是　　　　　.? 解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0, 因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2, 所以当x=0时,z最小,其值为3. 答案3 7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　.? 解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24. 要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=3+p24p=33,解得p2=36,p=6. 答案6 8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程. 解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), 设A(x0,y0),由题意知M0,-p2, ∵|AF|=3,∴y0+p2=3, ∵|AM|=17,∴x02+y0+p22=17, ∴x02=8,代入方程x02=2py0得, 8=2p3-p2,解得p=2或p=4. ∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1. (1)求p的值; (2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|. 解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =2·(x1-x2)2=2·(x1+x2)2-4x1x2 =2×32=8. 能力提升练 1.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=3FB,则|AB|=(　　) A.23 B.43 C.83 D.163 解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵FA=3FB,∴m+12=23, ∴m+1=43,AB=83. 答案C 2.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有(　　) A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个 解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点 ... ...