2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课件及课后提升：3.3.2　抛物线的简单几何性质（共2份打包）

第三章圆锥曲线的方程 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=x0,则x0等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析抛物线C:y2=x的焦点为F,∵A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,∴x0=x0+,解得x0=1. 答案A 2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上, ∴=4x0,则点P与点(5,0)的距离 d= =. ∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3. 答案C 3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有(　　) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 解析(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1, 由方程组 消y得k2x2+(2k-2)x+1=0, ①若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点; ②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点. (2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时, 该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点. 综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条. 答案B 4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数(　　) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定 解析设抛物线y2=2px的焦点为F,则其坐标为,将x=代入抛物线的方程,解得A,B.在直角三角形AOF中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知,∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°. 答案C 5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是　　　　　.? 解析根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为,边长为a,则有tan, 解得y0=2, 故边长a=4. 答案4 6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=　　　　　.? 解析∵F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0. 设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知 xA+xB=3p,xAxB=. |AB|==4p=8,解得p=2. 答案2 7.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求|AB|. 解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得F, 故|AF|+|BF|=x1+x2+, 由题设可得x1+x2=. 由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则x1+x2=-. 从而-,得t=-. 所以l的方程为y=x-. (2)由=3可得y1=-3y2. 由可得y2-2y+2t=0. 所以y1+y2=2. 从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2=. 故|AB|=. 8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1). (1)求抛物线C的方程. (2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值. 解(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3, 代入抛物线方程,整理得y2-ty-t-3=0. 因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y1+y2=t,y1y2=-t-3. 所以k1k2= = ==-, 故k1k2是定值. 能力提升练 1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是(　　) A.|MN|=|AB| B.FN⊥AB C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM=∠QMF 解析如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|. 又|MN|=,则|MN|=|AB|,A正确. 由|MN|=|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠CAN,所以△ANC≌△ANF,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN⊥AB,B正确. 在Rt△MNF中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确.由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的 ... ...