【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册课件及课时作业：6.2.4 　向量的数量积(1)

(课件网) 第六章　 平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积的概念课时作业5　向量的数量积 时间：45分钟 ———基础巩固类——— 一、选择题 1．(多选)以下命题不正确的是(　ABD　) A．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0 B．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 C．a与b是两个单位向量，则a2＝b2 D．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° 解析：题述命题中只有C正确．因为|a|＝|b|＝1， 所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2. 当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然A，B错误；根据两个向量夹角的概念，，的夹角应为120°. 2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　B　) A． B． C． D． 解析：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×＋4＝3，所以|a＋2b|＝. 3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　D　) A．－a2 B．－a2 C．a2 D．a2 解析：由题意得||＝a，·＝||||cos30°＝a·a·＝a2，选D． 4．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　B　) A．－8 B．8 C．－8或8 D．6 解析：由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8. 5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　A　) A． B． C． D．π 解析：设a，b夹角为θ，由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2，又|a|＝|b|，所以a·b＝32－2b2＝b2，所以cosθ＝＝＝，所以θ＝. 6．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　C　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：由2－·＝·＋·， 得·(－)＝·(－)，即·＝·， ∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0， 则·＝0，即⊥， 所以△ABC是直角三角形，故选C． 二、填空题 7．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝－7. 解析：(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7. 8．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为－. 解析：设a，b夹角为θ，∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|， ∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b， ∴a·b＝－|b|2， ∴cosθ＝＝＝－. 9．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝；b在a方向上的投影等于1. 解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12， 即3|b|2－|b|－4＝0， 解得|b|＝(舍负值)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝×＝1. 三、解答题 10．已知非零向量a、b满足(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，求a与b的夹角． 解：由已知 即 ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴b2＝2a·b， 代入①得7a2＋16a·b－30a·b＝0， ∴a2＝2a·b， 从而a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cosθ＝＝＝， ∴θ＝60°，故a与b的夹角为60°. 11．已知e1、e2是夹角为120°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2. (1)求a·b的值； (2)求a＋b与a－b的夹角的大小． 解：(1)a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2) ＝6e－13e1·e2＋6e＝6－13cos120°＋6＝. (2)设a＋b与a－b的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝0， 所以θ＝90°，即a＋b与a－b的夹角为90°. ———能力提升类——— 12．O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是(　B　) A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形 C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形 解析：设BC的中点为M，则化简(－)·(＋－2)＝0，得到·(＋)＝·(2)＝2·＝0，即·＝0，∴⊥，∴AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形． 13．若a，b是非零向量， ... ...