【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册课件及课时作业：7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何

课时作业20　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 时间：45分钟 ———基础巩固类——— 一、选择题 1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为(　B　) A．sin30°＋icos30°　　　　 B．cos240°＋isin240° C．cos30°＋isin30° D．sin240°＋icos240° 2．若z＝cos θ－isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是(　B　) A．0　　　　B. C．π　　　　D．2π 解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)， ∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1， ∴∴θ＝. 3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝(　D　) A．6＋6i B．6－6i C．－6＋6i D．－6－6i 解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°)＝12＝－6－6i.故选D. 4．复数z1＝1，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg()的值为(　D　) A. B. C. D. 5．(多选)设z1、z2是复数，argz1＝α，argz2＝β，则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的(　ABC　) A．α＋β B．α＋β－2π C．2π－(α＋β) D．π＋α＋β 解析：因为argz1＝α，argz2＝β，所以α∈[0,2π)，β∈[0,2π)，而arg(z1·z2)∈[0,2π)，则当α＋β∈[0,2π)时，arg(z1·z2)＝α＋β；当α＋β∈[2π，4π)时，α＋β－2π∈[0,2π)，则arg(z1·z2)＝α＋β－2π；当α＋β＝π时，2π－(α＋β)＝π＝α＋β，此时arg(z1·z2)＝α＋β＝2π－(α＋β)，故选ABC. 6．复数z＝sin－icos，若zn＝(n∈N)，则n的最小值是(　C　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：因为z＝sin－icos＝cos＋isin，所以zn＝cosπ＋isinπ，＝cos－isin＝cos＋isin.因为zn＝，所以π＝＋2kπ，n＝，因为n∈N，k∈Z，所以当k＝4时，n＝5. 二、填空题 7．已知z＝2(cos80°＋isin80°)，则z3＝8(cos240°＋isin240°)，z3的代数形式为－4－4i. 解析：z3＝3 ＝8； 其代数形式为8＝－4－4i. 8.÷3(cos120°－isin300°)＝－i. 解析：÷3(cos120°－isin300°)＝(cos60°＋isin60°)÷3(cos120°＋isin120°)＝[cos(60°－120°)＋isin(60°－120°)]＝[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝(－i)＝－i. 9．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是－－i，－i. 解析：∵－i＝cos＋isin，其立方根是cos＋isin，k∈0,1,2，即i，－－i，－i. 三、解答题 10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式． 解：因为z1＝2(cos＋isin)，设z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1z＝8[cos(2α＋)＋isin(2α＋)]．由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2(cos＋isin)＝－1＋i. 11．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根． 解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝， 即|z1－z2|＝， 所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝， 又argz2＝， 所以z2＝(cos＋isin)，z1＝z2＝(1＋i)z2 ＝(cos＋isin)·(cos＋isin) ＝2(cos＋isin)， 所以z1的立方根为[cos＋isin]，k＝0,1,2， 即(cos＋isin)，(cos＋isin)， (cos＋isin)． ———能力提升类——— 12．设复数z1＝2sinθ＋icosθ(<θ<)在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数z2＝r(cosφ＋isinφ)，则tanφ＝(　A　) A. B. C. D. 13.＝(　B　) A. B.i C．－ D．－i 解析： ＝ ＝＝i. 14．(1－i)7＝64－64i. 解析：(1－i)7＝7 ＝27 ＝128＝64－64i. 15．已知复数z1＝－2＋i对应的点为P1，z2＝－3＋4i对应的点为P2，把向量绕P1点按顺时针方向旋转后，得到向量，求向量和点P对应的复数分 ... ...