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课件网) 4.2.2 对数的运算性质 必备知识·自主学习 1.对数的运算性质 (1)性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,n∈R,那么 ①积的对数:loga(MN)=_____; ②商的对数:loga =_____; ③幂的对数:logaMn=_____. 导思 1.对数运算有哪些运算性质? 2.怎样用lg 2,lg 3计算log23? logaM+logaN logaM-logaN nlogaM (2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算. (3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题. 【思考】 你能用文字语言叙述对数的运算性质吗? 提示:积的对数等于积的各个因式的对数的和; 商的对数等于分子的对数减去分母的对数; 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数. 2.换底公式 (1)公式: logaN= (a>0,且a≠1;N>0;c>0,c≠1). (2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数. (3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算. 【思考】 (1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式? (2)你能用换底公式证明结论 吗? 提示:(1)logab= ,logab= . (2) 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)lg(xy)=lg x·lg y. ( ) (2) ( ) (3) =log216. ( ) 提示:(1)×.lg(xy)=lg x+lg y. (2)×.log3 =log327-log39. (3)√.逆用换底公式可得. 2.若lg a-2lg 2=1,则a= ( ) A.4 B.10 C.20 D.40 【解析】选D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1, 所以 =10,所以a=40. 3.(教材二次开发:练习改编) 若ln x=2ln a- ln b,则x=_____.? 【解析】因为ln x=2ln a- ln b=ln a2 , 所以x=a2 . 答案:a2 关键能力·合作学习 类型一 对数运算性质的应用(数学运算) 【题组训练】 1.(2020·苏州高一检测)计算:0.25-0.5-log525= ( ) A.0 B.1 C.3 D.4 2.若a=logm x,b=logm y,c=logm z,则用a,b,c表示 =_____.? 3.lg22+lg 2·lg 5+lg 5=_____.? 【解析】1.选A.0.25-0.5-log525= -log552= -2=0. 2.原式=logm(xy2 )=logm x+logm y2+logm =logm x+2logm y- logm z=a+2b- c. 答案:a+2b- c 3.lg22+lg 2·lg 5+lg 5=lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1. 答案:1 【解题策略】 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用; (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简. 【补偿训练】 若lg x-lg y=a,则 =( ) A.3a B.a3 C. D. 【解析】选A.lg x-lg y=lg =a, 类型二 对数换底公式的应用(数学运算) 【典例】1.(2020·淮安高一检测)设a=lg 2,b=lg 3,则log26= ( ) A.ab2 B.a2b C. D. 2.设log34·log48·log8m=log416,则m的值是 ( ) A. B.9 C.18 D.27 3.(2020·泸州高一检测)实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的是( ) 【思路导引】1.利用换底公式将log26换成常用对数后用a,b表示; 2.换成常用对数约分求m值; 3.利用指对互化表示出a,b后验证等式是否成立. 【解析】1.选C.因为a=lg 2,b=lg 3, 所以log26= 2.选B.因为log34·log48·log8m 所以lg m= ·lg 3=lg 32,解得m=9. 3.选B.因为2a=5b=10, 所以a=log2 10,b=log5 10, 所以 =lg 2, =lg 5, 所以 + =lg 2+lg 5=lg (2×5)=1. 【解题策略】 利用换底公式进行化简和求值 (1)一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值; (2)如果出现多个指数式相等的式子,则先化为对数式,再利用对数的运算 ... ...
