课时分层作业(十一) 基本不等式的应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是( ) A．2 B．a C． D．3 D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥ 2＋1＝3．] 2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( ) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 C [∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．] 3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 B [由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．] 4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( ) A．3 B．6 C．9 D．12 C [x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4 ＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9． 当且仅当即时等号成立，故x＋y的最小值为9．] 5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36 B [(1＋x)(1＋y)≤ ＝＝＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时， (1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．] 二、填空题 6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为_____． [答案] 1 7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是_____dm2． 56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2． 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)． 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．] 8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是_____． [6，＋∞) [∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＋3＝ab≤， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．] 三、解答题 9．已知a>b>0，求a2＋的最小值． [解] ∵a>b>0， 所以b(a－b)≤＝， ∴a2＋≥a2＋≥16． 当且仅当即时取等号． 故a2＋的最小值为16． 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) [解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－ ＝130－ ≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． 1．若－40． 故f(x)＝－≤－1． 当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．] 2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) D [∵x>0，y>0且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋ ≥4＋2＝8，当且仅当＝， 即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4
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