课时分层作业(十九) (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 D [x2－4x＋y2＝0?(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0?(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.] 2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 B [法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)． ∵圆M截直线所得线段长度为2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2. 又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交． 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝a. 依题意，有＝，解得a＝2. 以下同法一．] 3．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D [动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D.] 4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为( ) A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50 C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50 C [根据题意，⊙O的圆心O为(0,0)，半径为. ⊙O1的圆心O1(a,0)，半径为r. ∵⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直， ∴()2＋r2＝a2. ① 又由|AB|＝4，则××|OO1|＝××r， 即|a|＝r. ② 由①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5.故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20.] 5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( ) A．60° B．45° C．120° D．90° D [圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径为r＝2. 圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为r＝2. 圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝. 设公共弦所对的圆心角是2θ，则 cos θ＝＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D.] 二、填空题 6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____． a2＋b2＞3＋2 [由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2.] 7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝_____. 2 [由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0.圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2 则圆心(0,0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝. 所以|MN|＝2＝2×＝2.] 8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为_____． x＋2y－8＝0 [把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4 ∴圆心为(2,4)，半径为2.圆心到原点的距离为＝2.∴切线长为＝4，∴P，Q在以(0,0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16. 由 得x＋2y－8＝0.这就是PQ所在直线的方程．] 三、解答题 9．求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长. [解] 设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B的坐标是方程组 的解， 两式相减得x＋y－1＝0. 因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0， 所以AB所在直线方程为x＋ ... ...
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