6.1.4 求导法则及其应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点) 1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养. 如何求下列函数的导数： (1)y＝x； (2)y＝2x2＋sin x. 问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？ 1．导数的运算法则 (1)和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)积的导数 ①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ②[Cf(x)]′＝Cf′(x)． (3)商的导数 ′＝，g(x)≠0. 拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)． ②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)． 2．复合函数的概念及求导法则 (1)复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． (2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)． 这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x. 思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)＝是复合函数． ( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)． ( ) (3)y＝e2x的导数y′＝2e2x. ( ) (4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)． ( ) 2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( ) A．ex(x＋1) B．1＋ex C．x(1＋ex) D．ex(x－1) 3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝_____. 4．若y＝，则y′＝_____. 导数四则运算法则的应用 【例1】 求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝； (4)y＝x2－sin cos. 1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． 1．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)＝_____. 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝_____. 复合函数的导数 【例2】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1； (2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin 3x. 1．解答此类问题常犯的两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 3．求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝log2(2x2－1)． 导数运算法则的综合应用 [探究问题] 若点P是曲线y＝ex上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？ 【例3】 (1)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋b＝0垂直，则a＝_____. (2)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为_____． 正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 4．已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． 1．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形 ... ...
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