中考几何四边形小题精练（二）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 中考几何四边形小题精练（二） 116．如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、CD的中点，且∠MAN＝∠ABC，则的值为 ． 解：延长AN交BC延长线于E， ∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠E， 又DN＝CN，∠AND＝∠ENC， ∴△AND≌△ENC，∴CE＝AD，NE＝AN， ∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC， ∴∠NCE＝∠ABC， ∵∠MAN＝∠ABC，∴∠NCE＝∠MAN， 又∠G＝∠G，∴△ECN∽△EAM， ∴＝＝，∴＝＝， ∴＝＝． 117．如图，正方形ABCD中，点F为边CD上一点，AE⊥AF交CB延长线于E，连接DE、EF，EF交BD于点G，若AB＝3，BG＝，则DE的长为 ． 解：过F作FH∥BC交BD于H， 可证△ABE≌△ADF， 则FH＝DF＝BE，△HGF≌△BGE， ∴GH＝BG＝，∴DH＝3－2＝， ∴BE＝DF＝1，CE＝3＋1＝4， ∴DE＝＝5． 118．如图，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边BC、CD上，且tan∠EAF＝，过F作FG∥BC交AE于G，则线段FG长的最小值是 ． 解：延长FG交AB于M，在GM延长线上截取MV＝2AM，连接AN，则tanN＝＝， ∵tan∠EAF＝，∴∠N＝∠EAF， 又∵∠AFN＝∠GFA，∴△AFN∽△GFA， ∴＝，∴AF2＝FG·FN， 设BE＝x，AM＝y， ∵＝，∴＝，∴MG＝，∴FG＝8－， ∴y2＋82＝(8－)(8＋2y)，y＝， FG＝8－＝8－·＝＝ ＝x＋－2＝(x＋4)＋－4 ＝(－)2＋4－4≥4－4 ∴线段FG长的最小值为4－4． 119．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，以EF为直角边向上作等腰Rt△EFG，使∠GEF＝90°．当点E从A点运动到B点时，若点G经过的路径长是，则正方形ABCD的边长是 ，△EFG扫过的图形的面积是 ． 解：连接AC交EF于O，延长CD至P，使PD＝DC，连接PG、PA、OP、GO， 可证△AOE≌△COF，AO＝OC，EO＝OF， 则△ACP是等腰直角三角形，AP＝AC＝2AO， 则△AOP∽△EOG，得△POG∽△AOE， 得PG＝AE，AE＝PG， 点E从A点运动到B点，点G经过的路径长是， 则E经过的路径长是，即正方形ABCD的边长是； △EFG扫过的图形的面积是图中的阴影部分的面积，易求阴影部分的面积是． 120．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，AC＝CD，若AB＝3，BD＝5，则BC的长为 ． 解：延长AC至E，使CE＝AC，连接BE，则∠ACB＋∠BCE＝180°， ∵AD∥BC，AC＝CD， ∴∠BCD＋∠ACB＝∠BCD＋∠DAC＝∠BCD＋∠ADC＝180°， ∴∠BCE＝∠BCD， 又BC＝BC，∴△BCE≌△BCD， ∴BE＝BD＝5， ∵AB⊥AC，∴AE＝＝＝4， ∴AC＝2，∴BC＝＝＝． 121．如图，点E是正方形ABCD外一点，BE⊥DE交AD于F，连接CE交AD于G，若AF＝2，FG＝1，则正方形ABCD的边长为 ． 解：设正方形ABCD的边长为a， 易知△ABF∽△EDF，BF·EF＝AF·DF＝2(a－2)， 易知△EFG∽△EBC，＝＝a，＝a－1， BF2＝2(a－2)(a－1)＝a2＋4， a2－6a＝0，a＝6． 122．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，点P是边AD上的一个动点，则cos∠BPC的最小值是 ． 解：作AE⊥BC于E，则EC＝AD＝8， ∴BE＝BC－EC＝12－8＝4， ∵∠ABC＝60°，∴AE＝4， 作BC的中垂线交BC于H，交AD于P，连接PB、PC，作△BPC的外接圆⊙O， 则PB＝PC，圆心O在直线PH上， ∵AD//BC，∴⊙O与AD恰好相切于点P， ∵PH＝AE＝4，∴圆心O在弦BC的上方， 在AD上任取一点P′，连接P′B、P′C，P′B交⊙O于M，连接MC， 则∠BPC＝∠BMC≥∠BP′C，(少了符号∠) ∴∠BPC最大，cos∠BPC值的最小． 连接OB，则∠BOH＝2∠BPH＝∠BPC， ∵OB＝OP＝4－OH， 在Rt△BOH中，BH2＋OH2＝OB2， ∴62＋OH2＝(4－OH)2，解得OH＝， ∴OB＝， ∴cos ∠BPC＝cos∠BOH＝＝． 123.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，BC＝4，P是AB边上一动点，分别延长PC、PD至E、F，使DE＝PD，CF＝PC，连接EF，取EF的中点M，连接PM，则线段PM长的最小值为 . 解： ... ...