复合函数问题的解答方法(word版）

复合函数问题的解答方法 如果y是u的函数，记为y=f(u)，u又是x的函数，记为u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则称函数y=f(g(x))为y关于x的复合函数；其中u称为中间变量，函数y=f(u)称为外层函数，函数u=g(x)称为内层函数；复合函数的定义域由内层函数的值域来确定；复合函数的主要特征是外层函数的自变量又是一个函数。复合函数的问题主要包括：①复合函数解析式的求法；②复合函数函数值的求法；③复合函数单调性的判断（或证明）；④复合函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型，各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答复合函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列各题： 1、如果f()=，则当x0且x1时，f(x)=( ) A B C D -1 【解析】 【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法； 【解题思路】设t=，x=，求出 f(t)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。 【详细解答】设t=，x=， f(t)= = ， f(x)= ，B正确， 选B。 2、已知=，求f(x)； 【解析】 【知识点】①两项和完全平方公式及运用；②拼凑法的数学思想及运用；③拼凑法的基本法方法。 【解题思路】把看成整体未知数，将化成-2，就可得到函数f(x)的解析式。 【详细解答】==-2， f(x)= -2。 3、已知f(2x+1)=4+2x+1，求f(x)； 【解析】 【知识点】①两项和完全平方公式及运用；②拼凑法的数学思想及运用；③拼凑法的基本法方法。 【解题思路】由=4+4x+1可知，在原解析式中加上2x就能得到，为保证式子不变，同时还需要减去2x， f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，从而得到函数f(x)的解析式。 【详细解答】 f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1， f(x)= -x+1； 4、已知f(+1)=x+2，求f(x) ； 【解析】 【知识点】①两项和完全平方公式及运用；②拼凑法的数学思想及运用；③拼凑法的基本法方法。 【解题思路】由=x+2+1可知，在原解析式中加上1就能得到，为保证式子不变，同时还需要减去1，求出 f(+1)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。 【详细解答】 f(+1)=x+2=-1， f(x)= -1； 5、已知= ，求f(x)； 【解析】 【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法； 【解题思路】设t=，x=，求出 f(t)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式； 【详细解答】设t=，x=， f(t)= = = ， f(x)= 。 6、已知f（，求f(x)； 【解析】 【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法；③对数的定义与性质。 【解题思路】设t=，x=lnt+1，求出 f(t)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。 【详细解答】设t=，x=lnt+1， f(t)=2-1=2t+4lnt+1， f(x)=2x+4lnx+1； 7、已知f()=+，求f(x)的解析式。 【解析】 【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法； 【解题思路】设t=，x=，求出f(t)=的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。 【详细解答】设t=，x=， f(t)= +=1++t-1=-t+1， f(x)= -x+1。 『思考问题1』 （1）【典例1】是已知f〔g(x)〕关于x的解析式，求f(x)的解析式的问题，这类问题的共同特点是：①f(t)中的t又是一个函数g(x)，②f(t)的解析式是关于x的解析式；解答这种问题的基本方法有：①拼凑法；②换元法。 （2）拼凑法是把已知关于x的解析式通过拼或凑的方法，使之成为关于g(x)的式子的形式，再将g(x)看成整体未知数x，从而得到f(x)的解析式； （3）换元法是把g(x)用一个整体未知数t去替换，同时将f〔g(x)〕表示成f(t)关于t的解析式，然后再将解析式中的t都换成x得到函数f(x)的解析式。 〔练习1〕解答下列问题： 1、已知f(1-x)= -3x+2，求f(x)； 2、已知f(1-cosx)= ，求f(x)； 3、已知f()=，求f(x)； 4、若f()=，则f( ... ...