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课件网) 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和 半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点 圆的一般方程 1.圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 称为圆的一般方程. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点_____ D2＋E2－4F>0 表示以 为圆心，以 为半径的圆 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.( ) 2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( ) 3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( ) 4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( ) × × √ √ 2 题型探究 PART TWO 一、圆的一般方程的辨析 例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； 解 由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， (2)写出圆心坐标和半径. 解 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 反思感悟 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为 A.r＝1，(－2,1) B.r＝2，(－2,1) C.r＝2，(2，－1) D.r＝1，(2，－1) √ 解析 x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1， 所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1). (2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是 √ 解析 因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆， 二、求圆的一般方程 例2 已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为 ，求圆的方程. 解 方法一 (待定系数法) 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③ ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④ 故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二 (几何法) 由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0， ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1). 又圆C的半径长 代入( )式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5， 故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 反思感悟 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程. 跟踪训练2 (1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是_____. x2＋y2－4x－4y－2＝0 解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. (2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是 _____. x2＋y2－8x－2y＋12＝0 解析 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 三、求动点的轨迹方程 例3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)， 又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1. (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 解 设PQ的中 ... ...
