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课件网) 3.1.1方程的根与函数的零点 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 一、复习引入 方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函数 函数的图象 方程的实数根 x1＝－1，x2＝3 x1＝x2＝1 无实数根 函数的图象与 x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x+ 1 y＝x2－2x＋3 ⊿=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点 ⊿>0 ⊿=0 ⊿<0 一般一元二次方程与相应二次函数的关系 x1,x2 （x1,0），（x2，0） x1=x2 （x1，0） 无实根 无交点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 函数零点的定义： 注意： 零点指的是一个实数；不是一个点。 零点是一个点吗? 二、新课讲解 求函数零点的方法： (1) 方程法： (2) 图象法： 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象 与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 数 形 问题1: 求函数 的零点 问题4:求函数 的零点 问题2: 求函数 的零点 问题3: 求函数 的零点 讲解：求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 思考：这个结果可以更加精确吗？ 1.当A,B与x轴是怎样的位置关系时，AB间一段 连续不断的函数图像与x轴一定有交点？ 2.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示？ o A B o A B o B A o A B X 结论 零点存在定理 思考4：若函数具备了（1）中的条件，加上什么条件，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？ 思考3:若在区间[a，b]上连续函数f（x）满足f(a)f(b)<0,是否意味着函数f(x)在[a,b]上恰有 一个零点? 思考2：:若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,是否一定有f(a)f(b)<0? 思考1：函数具备了哪些条件，就可确定它有零点存在呢？ 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出 (1)f(x)＝x2＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2x－1－3； (4)f(x)＝ (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0， 得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数的零点是－1. (3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26， 所以函数的零点是log26. (4)解方程f(x)＝ ＝0，得x＝－6， 所以函数的零点为－6. 解： 例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 解析：∵ ， ， ∴零点在 上． 答案：C 例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数． 解： 方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)． 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点． 方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0， 又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个． (1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数； 规律方法 判断函数零点个数的方法主要有： (2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数； (3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 课堂练习： 1．函数y＝4x－2的零点是( ) A．2 B．(－2,0) C. D. 2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( ) A．方程f(x)＝0一定有 ... ...
