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课件网) 立体几何热点问题 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 线、面位置关系的证明与线面角 2019·天津，17；2019·浙江，19；2018·Ⅰ，18；2018·Ⅱ，20；2016·天津，17；2018·天津，17；2017·北京·16 数学运算、逻辑推理、直观想象 线、面位置关系的证明与二面角 2019·Ⅰ，18；2019·Ⅱ，17；2019·Ⅲ，19；2019·北京，16；2018·Ⅲ，19；2017·Ⅲ，19；2017·Ⅰ，18；2017·Ⅱ，19；2016·Ⅰ，18；2016·Ⅱ，19 数学运算、逻辑推理、直观想象 热点聚焦突破 教材链接高考———线面位置关系与空间角 [教材探究](选修2－1P109例4)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求二面角C－PB－D的大小. [试题评析] 1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角. 2.教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解. 3.除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答本题，其优点是可以使几何问题代数化. (1)求证：平面PBC⊥平面ABCD； (2)求二面角C－PB－D的余弦值. (1)证明 取BC的中点O，连接OP，OA，如图. 所以OA⊥BC，OP⊥BC，且OA＝OP＝3. 又因为OA∩BC＝O，OA?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD. 又因为OP?平面PBC. 所以平面PBC⊥平面ABCD. 探究提高 1.本题与教材选修2－1P109例4相比其难点在于不易找到二面角C－PB－D的平面角，或者说找到这个二面角的平面角对学生来说是一个很大的难点，而利用空间向量，即找到相关平面的法向量并且利用法向量来求二面角，就可以化解这个难点，这也是向量法的优势所在. 2.利用向量法解决问题时，要注意运算的正确性. 【链接高考】 (2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值. (1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1， 所以BE⊥平面EB1C1. (2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB. 设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 所以可取m＝(1，1，0). 教你如何审题———立体几何中的折叠问题 【例题】 (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②. (1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图②中的二面角B－CG－A的大小. [审题路线] [自主解答] (1)证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面. 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC?平面BCGE， 所以AB⊥平面BCGE. 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解 作EH⊥BC，垂足为H. 因为EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC， 所以EH⊥平面ABC. 探究提高 立体几何中折叠问题的解决方法 解决立体几何中的折叠问题，关键是搞清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化. (1)(一题多解)求证：平面C′FA⊥平面ABC′； (2)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的平面角的大小. (1)证明 法一 ∵F是AC的 ... ...
