中小学教育资源及组卷应用平台 第38讲 两条直线的位置关系 1、 考情分析 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2、 知识梳理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解. 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. [微点提醒] 1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). 2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 3.在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式. 3、 经典例题 考点一 两直线的平行与垂直 【例1】 (1)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( ) A. B. C. D. 【答案】 (1)C (2)D 【解析】 (1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件. (2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为. 规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 考点二 两直线的交点与距离问题 【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为_____. (2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是_____. (3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是_____. 【答案】 (1)5x＋3y－1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 【解析】 (1)法一 先解方程组 得l1，l2的交点坐标为(－1，2)， 再由l3的斜率求出l的斜率为－， 于是由直线的点斜式方程求出l： y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点 (－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程为5x＋3y－1 ... ...
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