中小学教育资源及组卷应用平台 第36讲 空间向量的应用 1、 考情分析 1.理解直线的方向向量及平面的法向量； 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理； 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题； 6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 2、 知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m?n·m＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0 3.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ 4.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉. (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 6.点到平面的距离 用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝. [微点提醒] 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. 3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. 3、 经典例题 考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD. 【解析】证明 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0). 设点C的坐标为(x0，y0，0). 因为＝3， 所以Q. 因为M为AD的中点，故M(0，，1). 又P为BM的中点，故P， 所以＝. 又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0. 又PQ?平面BCD， 所以PQ∥平面BCD. 法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0). ∵＝，设点F坐标为(x，y，0)，则 (x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)， ∴∴＝ 又由法一知＝， ∴＝，∴PQ∥OF. 又PQ?平面BCD，OF?平面BCD， ∴PQ∥平面BCD. 规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为 ... ...
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