几种常见求轨迹方程的方法

常见求轨迹方程的方法 武胜中心中学校:段方建 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的最小距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 解:(1)设P点的坐标为().则由题可知:故: 整理得: 即为所求P点的轨迹. (2)设弦的中点为P.坐标记为().根据题意. 又整理得: 即为所求弦中点轨迹. 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法． 例2 设Q是圆x2+y2=4上的动点，另有点线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 3．相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)． 例3　 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程. 4．待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求． 例4　 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x被双曲线截得线段长等于，求此双曲线方程． 5.练习 1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程． 2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹． 3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程． 4．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程