选修2-2 3.1 第1课时 数系的扩充与复数的概念 一、选择题 1．下列命题中： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2； ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④ [答案] D [分析] 由复数的有关概念逐个判定． [解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( ) A．－1 B．1 C．－i D．i [答案] A [解析] i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1. 3．下列命题中假命题是( ) A.不是分数 B.i不是无理数 C．－i2是实数 D．若a∈R，则ai是虚数 [答案] D [解析] 当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D. 4．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是( ) A．a＝0 a＋bi为纯虚数 B．b＝0 a＋bi为实数 C．a＋(b－1)i＝3＋2i a＝3，b＝－3 D．－1的平方等于i [答案] B [解析] a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B. 5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么( ) A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞) B．使z的虚部为负数的x的集合是(0,1) C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1} D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是 [答案] A [解析] 由解得x>1，A正确．故应选A. 6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( ) A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a≤0 [答案] D [解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D. 7．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A．2kπ－ B．2kπ＋ C．2kπ± D.＋(以上k∈Z) [答案] B [解析] 由得(k∈Z) ∴θ＝2kπ＋.选B. 8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( ) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 [答案] C [解析] 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C. 9．下列命题中哪个是真命题( ) A．－1的平方根只有一个 B．i是1的四次方程 C．i是－1的立方根 D．i是方程x6－1＝0的根 [答案] B [解析] ∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错； ∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错； ∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B. 10．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( ) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i [答案] B [解析] 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0 即，解得. ∴z＝3－i，故应选B. 二、填空题 11．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝_____. [答案] 2 [解析] 方程可化为 解得x＝2. 12．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为_____． [答案] －2 [解析] 如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2. 13．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝_____. [答案] 1 [解析] 复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1. 14．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是_____． [答案] [3,5] [解析] ∵z1＝z2，∴ ∴λ＝4－cosθ. 又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]． 三、解答题 ... ...
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