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课件网) 北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形定理证明 1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 学习目标 我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？ 答：相似三角形的判定定理有： (1)两角分别相等的两个三角形相似； (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边成比例的两个三角形相似． 回顾旧知 知识模块一 相似三角形判定定理的证明 (一)自主探究 如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1， ， 求证：△ABC∽△A1B1C1. 证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝_____，作DE∥_____，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝_____，证△A1B1C1_____△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC. A1B1 BC A1C1 ≌ 探究新知 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C (二)合作探究 证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B',AE=A'C'，连结DE。 A B C A' C' B' D E ∵ AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C' ∴ ΔADE≌ΔA'B'C'， ∴ ∠ADE=∠B'， 又∵ ∠B'=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ Δ A'B'C' ∽ΔABC 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， ∴ 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B ∴ C′ B′ A′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 知识模块二 相似三角形判定定理的应用 1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件： (一)自主探究 ③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个 条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 C 2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD. 证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°， ∴∠BAF＝∠AED. ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝90°. ∴∠AFB＝∠D， ∴△ABF∽△EAD. 例 已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD， 分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或 以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD， ∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC. 者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决． 证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD， ∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD， 在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD， ∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC， ∴△DBE∽△ABC. ∴∠DBE＝∠ABC且 练习 1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是 三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论. 答：相似． 证明：△ABC为等边三角形． ∴∠A＝ ... ...
