《3.3 幂函数》教学设计 教学目标 1．能从具体情境中抽象出幂函数概念，提升学生的数学抽象素养． 2．了解幂函数的定义，能识别幂函数；能正确画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象，描述它们的变化规律，讨论它们的基本性质，提升学生的直观想象和数学抽象素养． 3．能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性，能利用幂函数的单调性比较大小，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 教学重点：5个幂函数的图象与性质． 教学难点：画y＝x3 和 y＝x的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的性质． 课前准备 用软件制作动画；PPT课件． 教学过程 一、问题导入 问题1：观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？ （1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； （3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c＝，这里c是S的函数； （5）如果某人t s内骑车行进1 km，那么他骑车的平均速度v＝，这里v是t的函数． 师生活动：学生还没有学习指数幂运算，老师可以给出提示：＝S，＝t－1，然后引导学生从解析式的结构特征去思考，发现这5个解析式的共同点． 追问1：你还能举几个相同结构的函数的例子吗？（y＝x0，y＝x4，y＝x－2，y＝x等．） 预设的答案：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量． 教师点拨：一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x为自变量，α为常数．（板书：幂函数） 对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，，－1时的图象与性质． 设计意图：问题1通过学生熟悉的实际问题引出课题，追问1帮助学生进一步熟悉幂函数的结构特征． 二、新知探究 1．确定研究思路 问题2：（1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面入手去研究？ （2）你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？ 师生活动：学生回忆函数的概念与性质的探究思路，老师在学生回答的基础上补充． 预设的答案：（1）函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等．（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题． 设计意图：问题（1）帮助学生确立具体的研究目标，问题（2）是帮助学生确立研究方法． 2．幂函数的图象与性质 问题3：请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3 ，y＝x和y＝的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表1内． 表1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 师生活动：学生可以顺利画出y＝x，y＝x2和y＝的图象，但是在画y＝x3 和 y＝x的图象时会遇到困难，老师引导学生通过解析式先得到部分性质，比如定义域，奇偶性，甚至是单调性，然后学生再用描点法画图，最后老师借助画图软件作出图象再加以认识． 预设的答案：如图1和表2． 表2 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝ 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减 追问1：结合图1和表2，你能总结出这5个幂函数的共性吗？（图象都过点(1，1)，图象都经过第一象限．） 追问2：这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？（如果定义域为{x|x≥0}，则不过第二、三象限，比如y＝x；如果定义域包含(－∞，0)，可以 ... ...
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