3.6.3 二次函数的应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第三章 二次函数 3.6 二次函数的应用 第3课时 知识梳理 知识点1 运用二次函数解决抛物线形状的实际问题 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处点B的坐标为（6，5）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）该男同学把铅球推出去多远？ 解:（1）∵顶点坐标为_____，∴设二次函数的解析式为y＝_____。 ∵点A（0，2）在抛物线上，∴_____。解得a＝_____。 ∴二次函数的解析式为_____。 （2）当y＝0时，令_____＝0，解得x1＝_____，x2＝_____。（负值舍去） 故该男同学把铅球推出_____米。 知识点2 运用二次函数解决抛物线形状实际问题的一般步骤 （1）根据已知条件建立恰当的_____； （2）写出关键点的坐标，设出相应的_____表达式； （3）列出方程（组），求出待定系数，得到_____解析式； （4）根据二次函数的图象性质，使实际问题得到解决。 考点突破 考点 运用二次函数解决抛物线形状的实际问题 典例1 如图所示，一位运动员在距篮筐水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面的距离为3.05m。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高1.8m，在这次跳起投篮中，球在头顶上方0.25m处出手.问球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 思路导析: 这是一道利用二次函数图象知识来解决实际问题的题目解决这类题型时，先根据题意找出有关点的坐标，求出二次函数的表达式后，再根据二次函数的性质解决有关实际问题。 解:（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（0，3.5），设该抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5. ∵抛物线过点（1.5，3.05），∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a＝－0.2. ∴抛物线的表达式为y＝－0.2x2＋3.5； （2）当x＝－2.5时，y＝－0.2×（－2.5）2＋3.5＝2.25. 则2.25－1.8－0.25＝0.2（m） 所以球出手时，他跳离地面的高度为0.2m. 友情提示 若题目中没有建立平面直角坐标系，还应根据题意建立适当的平面直角坐标系. 变式1 王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y＝，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m. （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）请求出球飞行的最大水平距离； （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其表达式。 典例2 如图所示，有一座抛物线形的拱桥，当水位涨至AB时，水面宽为14 m，如果水位再上升4 m，就将达到警戒水位CD，这时水面宽为10 m. （1）建立平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）某日上午7时，洪水已涨至警戒水位，并继续以0.5 m/h的速度上升有一只载满货物的小船，船露出水面部分的横截面是矩形，且高为1.5 m，宽为2 m，问小船必须在几时几分前才能通过桥的拱洞？ 思路导析: （1）选择适当的位置建立平面直角坐标系，求出抛物线的表达式. （2）船露出水面部分的矩形的宽为2 m，可理解为在抛物线上某点的横坐标为1，求其纵坐标。 解:（1）以拱洞顶点为坐标原点，以与AB平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）由题意得，设点B的坐标为（7，m），点D的坐标为（5，m＋4），抛物线的对称轴为y轴. 设抛物线的表达式为y＝ax2，则有，解得。 所以抛物线的表达式为y＝； （2）设当洪水涨至水平线EN时，小船刚好通过桥的拱洞. 因船露出水面部分的矩形的宽为2 m，故在抛物线上取横坐标为1的点M，过点M作MG⊥EN于点G，则点M的坐标为（1，），点D ... ...