课时分层作业(二十三) 复数的几何意义 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D [∵sin 2>0，cos 2<0， ∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限． 故选D．] 2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( ) A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 D [由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D．] 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( ) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i B [因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.] 4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( ) A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．] 5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.] 二、填空题 6．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_____． 2＋4i [∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B， ∴点A(6,5)，B(－2,3)． ∴中点C(2,4)，其对应复数2＋4i.] 7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝_____. [＝－1＋i，则|(1－z)·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝.] 8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是_____． 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 [∵|z|＝3， ∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．] 三、解答题 9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值． [解] 由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i， 则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i. 由|z－w|＝得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5， 整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin＝－， ∵0<α<2π，∴<α＋<， ∴α＋＝或α＋＝，∴α＝π或α＝. 10．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)． (1)求复数z； (2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限． [解] (1)由(z－2)i＝a＋i， 得z－2＝＝1－ai，∴z＝3－ai. (2)由(1)得z2＝9－a2－6ai， ∵复数z2对应的点在第一象限， ∴解得－3
