3．1.1 数系的扩充和复数的概念 [目标] 1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法． [重点] 复数的概念及复数相等的条件． [难点] 复数的理解与引入． 知识点一 复数的概念 [填一填] 1．复数与复数集 集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所成的集合C叫做复数集． 2．复数的代数形式 复数通常用z表示，z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的实部与虚部． [答一答] 1．如何理解虚数单位i? 提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、减、乘、除运算律仍成立． 2．能否说形如a＋bi(其中i是虚数单位)的数叫做复数？ 提示：不能．只有当a，b∈R时，结论才成立． 知识点二 复数的分类与复数相等 [填一填] 1．复数的分类 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当b＝0时，z为实数．当b≠0时，z为虚数，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数． (2)复数集内的包含关系 2．复数相等 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是a＝c且b＝d. [答一答] 3．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数，当a＝0时为虚数，这种说法正确吗？ (2)形如bi的数一定是纯虚数吗？ (3)复数z＝0的充要条件是什么？ 提示：(1)这种说法不正确，复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当b＝0时为实数；当a＝0时z不一定为虚数，因为当a＝b＝0时，z＝0是实数，而不是虚数． (2)不一定，只有在bi中，当b∈R且b≠0时它才是纯虚数，当b∈R且b＝0时，bi＝0不是纯虚数，当b?R时，也不是纯虚数． (3)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则当a＝b＝0时，有z＝0；反之，若z＝0，则必有a＝b＝0，即复数z＝0的充要条件是其实部和虚部均为0. 4．两个复数能否比较大小？ 提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定，若i>0，则两边同乘以i，有i2>0，即－1>0，这是不可能的．若i<0，则两边同时平方得i2>0，即－1>0，这也不可能． 本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确，实数也是复数，要把复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b∈R，且b≠0)不要只记形式，认为形如bi的数就是纯虚数是错误的，要注意b∈R，且b≠0. 两个不相等的复数(不全为实数)不能比较大小，同时，应熟练掌握以下结论： (1)复数z＝a＋bi，当b＝0时，z是实数；当b≠0，a＝0时，z是纯虚数；当b≠0时，z是虚数． (2)a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)z＝a＋bi∈R(a，b∈R)?b＝0(a，b∈R). 类型一 复数的概念 【例1】 分别指出下列复数的实部和虚部． 3＋2i，－i，－3i＋5，，－5i，i2,0. 【思路分析】 先把复数写成a＋bi(a，b∈R)的形式，然后根据实部和虚部的定义解题． 【解】 3＋2i的实部是3，虚部是2. －i＝＋(－1)i，故－i的实部是，虚部是－1. －3i＋5＝5－3i，故－3i＋5的实部是5，虚部是－3. ＝＋0i，故的实部是，虚部是0. －5i＝0－5i，故－5i的实部是0，虚部是－5. i2＝－1＝－1＋0i，故i2的实部是－1，虚部是0. 0＝0＋0i，故0的实部和虚部都是0. 复数的虚部是指i的“系数”，一定不能带有i，如，2－2i的虚部是－2，而不是－2i. (1)复数(1＋)i的虚部是( C ) A．1 B. C．1＋ D．(1＋)i 解析：(1＋)i的虚部是i的系数1＋，选C. (2)指出下列复数的实部与虚部． 3i＋2i2,5＋8i，(－1)i. 解：∵3i＋2i2＝3i－2＝－2＋3i， ∴实部为－2，虚部为3. 5＋8i的实部为5，虚部为8. (－1)i的实部为0，虚部为－1. 类型二 复数的分类 【例2】 实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6) ... ...
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