第43讲 抛物线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第43讲 抛物线 考情分析 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 INCLUDEPICTURE "../第42讲 双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W398.TIF" \ MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../第42讲 双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W399.TIF" \ MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../第42讲 双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W400.TIF" \ MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../第42讲 双曲线-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/W401.TIF" \ MERGEFORMAT 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 [微点提醒] 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径. 经典例题 考点一　抛物线的定义及应用 【例1】 (1)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　) A.2 B. C. D.3 解析　(1)由抛物线定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2，又知x＝2y1，x＝2y2，∴x－x＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6. (2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2. 答案　(1)B　(2)A 规律方法　应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. (2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. 考点二　抛物线的标准方程及其性质 【例2】 (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.2 (2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为(　　) A.y2＝x B.y2＝x C.y2＝x D.y2＝x 解析　(1)过M作MP垂直于准线，垂足为P， 则＝＝＝， 则cos ∠AMP＝，又0°<∠MAP<180°， 则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形， 设M(m，)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝， 解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB必过原点， 则设AB的方程为y＝kx(易知k>0)， 圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2， 由得或 把代入抛物线方程， 得＝2p·，解得p＝， 所以抛物线C2的方程为y2＝x. 答案　(1)C　(2)C 规律方法　1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时， ... ...