中小学教育资源及组卷应用平台 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 一、二次函数和一元二次方程之间的关系 函数y=ax2+bx+c(_a???0)??????_y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，由二次函数的图象与x轴的交点情况可以确定一元二次方程根的情况. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的情况分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，如下表所示： b2-4ac的取值 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况 b2-4ac>0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点 一元二次方程ax2+bx+c=0有_____个不相等的实数根x1，x2 b2-4ac=0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（，0） 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个_____的实数根x1=x2=_____ b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0在实数范围内_____ 已知二次函数y=ax2+bx+c_(a???0)???_函数值为k，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)；反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)就是把二次函数y=ax2+bx+c–k(a≠0)的函数值看作0，求自变量的值．21·世纪*教育网 二、利用二次函数的图象求解一元二次方程 1．方法一 利用抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解． 具体过程如下： （1）在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象； （2）观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标； （3）交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解． 2．方法二 利用求抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解． 具体过程如下： （1）在平面直角坐标系中画出函数y=ax2(a≠0)(a=0)与y=–bx–c(b≠0) [或y=ax2+bx(a≠0)与y=–c或y=]的图象； （2）观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标； （3）交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的解． 【提示】用图象_???è§?????????????_方程是数形结合思想的具体应用．可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法，也可在平面直角坐标系中画出二次函数的图象求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的． 1．两，相等，，无解 帮—重点 二次函数和一元二次方程之间的关系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 帮—难点 二次函数和一元二次方程之间的关系 帮—易错 抛物线与x轴的位置关系 一、抛物线与x轴的交点 当函数图象与x_è??????????¤??????_，函数所对应的方程的Δ≥0；函数图象过原点，即当x=0时，y=0；寻求y<0及y>0时x的取值范围，可利用其图象回答． 【版权所有：21教育】 抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的定义及抛物线与x轴有交点，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】 解：∵抛物线和轴有交点， , 解得：且． 故选． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当时，抛物线与x轴有交点是解题的关键． 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式m?-m+2019的值为_____ 【答案】2020 【解析】 【分析】 把点（m，0）代入抛物线y=x?-x-1求出m?-m的值，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】 ∵抛物线y=x??x?1与x轴的一个交点为(m,0)， ∴m??m?1=0， ∴m??m=1， ∴原式=1+2019=2020. 故答案为2020. 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用待定系数法求解. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个 ... ...
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