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课件网) §1.3 中国古代数学中的算法案例 1.3 中国古代数学中的算法案例 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 1.通过阅读课本中的算法案例，体会其中蕴涵的算法思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平，并能利用它们解决具体问题． 2．对本节涉及的几种算法———等值算法、割圆术、秦九韶算法，应在理解的基础上掌握其程序及算法步骤，体会古代数学中的算法思想． 课前自主学案 1．编写算法常用的语句有输入语句、_____、赋值语句、_____、循环语句，对应着_____结构、条件结构、 _____结构． 2．在两个正数的所有公约数中最大的一个公约数为它们的_____ 温故夯基 输出语句 条件语句 顺序 循环 最大公约数． 1．等值算法在我国古代也称为 _____，它是用来求两个正整数_____的算法，其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到_____为止，则所得数就是_____ 2．割圆术是我国魏晋时期的数学家_____在注《九章算术》中采用_____逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的一种方法． 知新益能 更相减损之术 最大公约数 所得的两数相等 所求的最大公约数． 刘徽 正多边形面积 3．秦九韶算法是我国南宋数学家_____在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法． 思考感悟 如果多项式中按x的降幂排列时“缺项”，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么问题？ 提示：所缺的项应添零补齐，即将所缺的项补上，写成系数为零． 秦九韶 课堂互动讲练 最大公约数的求法 考点突破 例1 分别用辗转相除法和等值算法求319和261的最大公约数． 【思路点拨】 使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，反复执行，直到r＝0为止；用等值算法是根据m－n＝r，直到n＝I为止． 【解】 辗转相除法：319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)． 所以319与261的最大公约数是29. 等值算法：319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58＝87,87－58＝29,58－29＝29. 即(319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)． 所以319与261的最大公约数是29. 【名师点评】 可以发现辗转相除法和等值算法求得的最大公约数是相同的，但用辗转相除法的步骤较少，而等值算法运算简单、但步骤较多，在解题时应灵活运用． 求多项式的值 例2 用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝2时的值． 【思路点拨】 可根据秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外逐次计算即可． 【解】 先将f(x)化为 f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6 ＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6. v1＝1×2＋2＝4， v2＝v1×2＋3＝11， v3＝v2×2＋4＝26， v4＝v3×2＋5＝57， v5＝v4×2＋6＝120. 故多项式f(x)在x＝2时的值f(2)＝120. 【名师点评】 利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能否正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于下一次计算需用到上一次的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．另外，当多项式有几项不存在时，可将这几项的系数看作0. 变式训练1 求多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7当x＝5时的值． 解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 ＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7， v1＝2×5－5＝5， v2＝5×5－4＝21， v3＝21×5＋3＝108， v4＝108×5－6＝534， v5＝534×5＋7＝2677. 所以f(5)＝2677. 实际应用 例3 【思路点拨】 根据题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求任意两个数的最大公约数，然后再求这个数与第三个数的最大公约数． 【名师点评】 将生活中的问题转化为数学模型，利用数学思 ... ...
