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课件网) 第一章 直线和平面 三垂线定理 藤县中学数学组 二年级备课组 导入新课 上述问题可看作是一个怎样的数学问题？ 在已知平面内作一直线b与平面外的已知直线a垂直. A B D C A1 C1 D1 E B1 a 问题：有一方木料ABCD—A1B1C1D1，上底面有一点E，为了加工，需要经过点E在上底面画一条线段和C，E的连线垂直，应怎样画？ 实验结果表明： 平面内的一条直线如果和斜线的射影垂直，那么就和平面的斜线垂直。 A a O P 已知 PA、PO分别是平面 的垂线、斜线，AO是PO在平面 上的射影。a ，a⊥AO。 求证： a⊥PO 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 三垂线定理 A a O P 证明： a⊥PO PA⊥ a AO⊥a a⊥平面PAO PO 平面PAO PA ⊥a 剖析定理 三垂线定理是否仅仅对水平位置的平面成立？ A B D C A1 C1 D1 E B1 b A B C A1 C1 D1 D B1 P C B A 例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC 平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC 例2 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM A D C B A1 D1 B1 C1 (1) (2) B P M C A (3) P O A B C D (1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD P O A B C D 证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又AO是PO在面ABCD上的射影 PO⊥BD 同理，AC⊥BD AC是PC在面ABCD上的射影 PC⊥BD P M C A B (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BC⊥AM BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点 PM ⊥BC ∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影 (3) 在正方体AC1中， 求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1 B1 C1 A D D1 证明： C B A1 B1 C1 A D D1 同理可证， A1C⊥B1D1 由三垂线定理知 A1C⊥BC1 P M C A B P A O a α A1 C1 C B B1 O A α a P 我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 解题回顾 ，怎么找？ 三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？ 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 解题回顾 P A O a α P A O b c d e 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 解题回顾 使用三垂线定理还应注意些什么？ 直线a 一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。 P A O a α 例如：当 b⊥ 时， b⊥OA 注意：如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？ b 但 b不垂直于OP 解题回顾 P A O a α 三垂线定理包含几种垂直关系？ ②线射垂直 P A O a α ①线面垂直 ③ 线斜垂直 P A O a α 直 线 和 平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 P A O a α P A O a α 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 ？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 P A O a α 已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO 三垂线定理的逆定理 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 ... ...
