3.4基本不等式?： 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想； 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力； 3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程： 1．动手操作，几何引入 诺贝尔奖，是以瑞典著名的化学家诺贝尔的部分遗产作为基金在1900年创立的。诺贝尔奖分设物理、，化学 、生理或医学、文学、和平五个奖项，但没有数学，数学的最高奖是菲尔茨奖，每四年一次的国际数学大会颁发，如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的． ? ? ? ? ?探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为， 那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和， 正方形的面积．由图可知，即． 那么它们有相等的情况吗？何时相等？ 当， 从而对任意实数，都有，此不等式叫重要不等式 证法： ，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数） ?探究二：如果，用去代替中，能得出什么结论？ 通过学生动手操作，探索发现： 若，则．此不等式叫基本不等式 证法（分析法）：由于，于是 要证明? ，只要证明? ， 即证? ， 即? ，该式显然成立，所以，当时取等号． 得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若，则（当且仅当时，等号成立） 若，则（当且仅当时，等号成立） 3．几何证明，相见益彰 探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接． 根据射影定理可得： 由于Rt中直角边斜边， 于是有 当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立． 故而再次证明： 当时，（当且仅当时，等号成立） 称为的几何平均数；称为的算术平均数 基本不等式又可叙述为： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高 例1.（1）当时，的最小值为_____,此时 （2）当时，的最小值为_____,此时 例2（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ （通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 对于， （1）若（定值），则当且仅当时，有最小值； （2）若（定值），则当且仅当时，有最大值． （鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．） 例3. （1）当时，求的最大值 （2）当时，求的最小值 （3）当时，求的最小值 并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 6．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立） 若，则（当且仅当时， ... ...
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