中小学教育资源及组卷应用平台 一、解答题 1．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点． （1）证明：DO⊥底面ABC； （2）求二面角D-AE-C的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（1）证明：∵ AD＝CD＝，O是AC的中点， ∴ DO⊥AC． ∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC， ∴ DO⊥底面ABC． （2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC． OA＝OC＝OD＝2， OB＝ 如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系． 则，，， ，， ，，． 设平面ADE的一个法向量为， 则 即 令，则，所以． 同理可得平面AEC的一个法向量． ． 因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为． 2．如图，在梯形中，，，矩形中，，又有. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】证明：（1）在梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∴，∴ 又∵矩形中，，又有，，∴， 又∵∴平面， （2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系： ，，，，. 所以，，… 设平面的法向量为，所以∴， 令，则，，∴， ， ∴直线与平面所成角的正弦值是． 3．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点. （1）求证:平面平面； （2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）平面，平面，得. 又，在中，得， 设中点为，连接， 则四边形为边长为1的正方形，所以，且， 因为，所以， 又因为，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，分别以射线?射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，. 又设，则，，， ，. 由且知，为平面的一个法向量. 设为平面的一个法向量，则， 即，取，，则，有，得，从而，. 设直线与平面所成的角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 4．如图，已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，，点F为线段AP的中点． （Ⅰ）证明：平面ABC； （Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，，， 由余弦定理可得， 因为， 所以， 又，， 所以面ABC． （Ⅱ）在平面ABC中，过点C作，以C为原点， ，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面PBC的法向量为， 则 取，则，，即， 所以sinα＝， 故直线BF与平面PBC所成角的正弦值． 5．四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 【答案】（1）见解析，（2） 【解析】（1）证明：因为，为线段的中点， 所以， 在等腰梯形中，作于， 则由得， 所以， 所以， 因为，所以 所以∽,所以， 所以， 所以， 因为，， 所以平面， 因为在平面内，所以， 因为，在平面内， 所以平面； （2）解：因为，，所以，, 取的中点，连接，则， 因为平面，所以，又 所以平面， 所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 由（1）知平面，则平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 6．如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，平面平面，点，分别为，的中点，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面构成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1），（2） 【解析】解：（1）取的中点，连接， 因为为正三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以， 因为四边形为直角梯形，，点为的中点，点为的中点， 所以， 因为， 所以平面， 因为在平面内， 所以平面平 ... ...
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